自然数に関する和の公式
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}c=nc}$
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)}$
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$
詳しくはこれ↓
和の記号Σの性質
１ $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k}$
２ $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}p a_k=p\sum_{k=1}^{n}a_k}$ ( $p$ は定数 )
１ $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k}$
\begin{eqnarray} && \sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k) \\\\ &=& (a_1+b_1)+(a_2+b_2)+(a_3+b_3)+\cdots\cdots+(a_n+b_n) \\\\ &=& (a_1+a_2+a_3+\cdots\cdots+a_n)+(b_1+b_2+b_3+\cdots\cdots+b_n) \\\\ &=& \sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k \end{eqnarray}
２ $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}p a_k=p\sum_{k=1}^{n}a_k}$
\begin{eqnarray} && \sum_{k=1}^{n}p a_k \\\\ &=& pa_1+pa_2+pa_3+\cdots\cdots+pa_n \\\\ &=& p(a_1+a_2+a_3+\cdots\cdots+a_n) \\\\ &=& p\sum_{k=1}^{n}a_k \end{eqnarray}
Σの性質を用いて計算をしてみよう！
次の和を求めよ。
(1) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(4k+3)}$
(2) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}(3k-2)}$
(3) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(k^2-k)}$
(1) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(4k+3)}$
\begin{eqnarray} && \sum_{k=1}^{n}(4k+3) \\\\ &=& 4\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}3 \\\\ &=& 4\cdot \frac{1}{2}n(n+1)+3n \\\\ &=& 2n(n+1)+3n \\\\ &=& 2n^2+5n \\\\ &=& n(2n+5) \end{eqnarray}
(2) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}(3k-2)}$
\begin{eqnarray} && \sum_{k=1}^{n-1}(3k-2) \\\\ &=& 3\sum_{k=1}^{n-1}k-\sum_{k=1}^{n-1}2 \\\\ &=& 3\cdot \frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}-2(n-1) \\\\ &=& \frac{1}{2}(n-1)(3n-4) \end{eqnarray}
(3) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(k^2-k)}$
\begin{eqnarray} && \sum_{k=1}^{n}(k^2-k) \\\\ &=& \sum_{k=1}^{n}k^2-\sum_{k=1}^{n}k \\\\ &=& \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}n(n+1) \\\\ &=& \frac{1}{6}n(n+1)\{(2n+1)-3\} \\\\ &=& \frac{1}{6}n(n+1)(2n-2) \\\\ &=& \frac{1}{3}n(n+1)(n-1) \end{eqnarray}
共通因数でくくりながら整理しよう！
次の計算にも注意！
● $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}k}$ と $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}k^2}$ について
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)}$ を用いると
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}}$
となる
つまり，$n$ を $n-1$ にすればよい
同様に
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$ を用いると
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}\{2(n-1)+1\}}$
となる
第 $k$ 項が $k(k+1)$ である数列の，初項から第 $n$ 項までの和である
\begin{eqnarray} && \sum_{k=1}^{n}k(k+2) \\\\ &=& \sum_{k=1}^{n}(k^2+2k) \\\\ &=& \sum_{k=1}^{n}k^2+2\sum_{k=1}^{n}k \\\\ &=& \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+2\cdot\frac{1}{2}n(n+1) \\\\ &=& \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+n(n+1) \\\\ &=& \frac{1}{6}n(n+1)\{(2n+1)+6\} \\\\ &=& \frac{1}{6}n(n+1)(2n+7) \end{eqnarray}
和をΣの式に書き換えて計算しよう！
等比数列の和のΣ
和の形に変形してみると
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}=1+2+2^2+\cdots\cdots+2^{n-1}}$
これは，初項 $1$，公比 $2$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和である
初項 $a$，公比 $r$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和は $\displaystyle{\frac{a(r^n-1)}{r-1}}$ なので（等比数列の和の公式）
\begin{eqnarray} && \sum_{k=1}^{n}2^{k-1} \\\\ &=& 1+2+2^2+\cdots\cdots+2^{n-1} \\\\ &=& \frac{2^n-1}{2-1} \\\\ &=& 2^n-1 \end{eqnarray}
和の形に変形すれば，初項と公比と項数が分かる！
等比数列の和の公式を用いよう！
次の和を求めよ。
(1) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}2\cdot3^{k-1}}$
(2) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}3\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}}$
(3) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}2^k}$
(1) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}2\cdot3^{k-1}}$
和の形に変形してみると
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} 2\cdot3^{k-1}=2+2\cdot3+2\cdot3^2+\cdots\cdots+2\cdot3^{n-1}}$
これは，初項 $2$，公比 $3$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和である
\begin{eqnarray} && \sum_{k=1}^{n}2\cdot3^{k-1} \\\\ &=& \frac{2(3^n-1)}{3-1} \\\\ &=& 3^n-1 \end{eqnarray}
(2) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}3\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}}$
和の形に変形してみると
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} =3+3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots\cdots+3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}$
これは，初項 $3$，公比 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和である
\begin{eqnarray} && \sum_{k=1}^{n}3\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \\\\ &=& \frac{3\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\}}{1-\frac{1}{2}} \\\\ &=& 6\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right\} \end{eqnarray}
(3) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}2^k}$
和の形に変形してみると
$\displaystyle{\sum_{k=1}^ {n-1}2^k=2+2^2+2^3+\cdots\cdots+2^{n-1}}$
これは，初項 $2$，公比 $2$ の等比数列の初項から第 $(n-1)$ 項までの和である
\begin{eqnarray} && \sum_{k=1}^{n-1}2^{k} \\\\ &=& \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} \\\\ &=& 2^n-2 \end{eqnarray}
等比数列の和の公式 $\displaystyle{\frac{a(r^n-1)}{r-1}}$ の $n$ は項数なので，(3) は $(n-1)$ となる
和の形にするところがポイントだね！
まとめ
● 自然数に関する和の公式
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}c=nc}$
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)}$
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$
● Σの性質
１ $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k}$
２ $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}p a_k=p\sum_{k=1}^{n}a_k}$ ( $p$ は定数 )
● Σの計算のポイント
共通因数でくくりながら整理する
● 等比数列の和のΣ
和の形に変形して，初項と公比と項数を求めてから，等比数列の和の公式を用いる
これでΣの計算はばっちり！
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