チェバの定理

チェバの定理

　

点 $B$ から始める

$\displaystyle{\frac{①}{②}・\frac{③}{④}・\frac{⑤}{⑥}=1}$

点 $C$ から始める

$\displaystyle{\frac{③}{④}・\frac{⑤}{⑥}・\frac{①}{②}=1}$

点 $A$ から始める

$\displaystyle{\frac{⑤}{⑥}・\frac{①}{②}・\frac{③}{④}=1}$

時計回りに回ってもよい

証明

証明の準備

[証明]

上図のように

$\triangle OAB$ の辺 $OA$ を底辺としたときの高さ $BH$

$\triangle OAC$ の辺 $OA$ を底辺としたときの高さ $CK$ をとる

底辺 $OA$ は等しいので，$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積比は高さの比と等しい

$\triangle OAB：\triangle OAC=BH：CK$

$BK/\!/CH$ より　$BH：CK=BP：PC$

よって　$\triangle OAB：\triangle OAC=BH：CK$

　　　　$\triangle OAB\times CK=\triangle OAC\times BH$

すなわち　$\displaystyle{\frac{\triangle OAB}{\triangle OAC}=\frac{BP}{PC}}$

チェバの定理の証明

$\displaystyle{\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=1}$　を証明する

[証明]

$\displaystyle{\frac{BP}{PC}=\frac{\triangle OAB}{\triangle OAC}}$

$\displaystyle{\frac{CQ}{QA}=\frac{\triangle OBC}{\triangle OAB}}$

$\displaystyle{\frac{AR}{RB}=\frac{\triangle OAC}{\triangle OBC}}$

よって

$\displaystyle{\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=\frac{\triangle OAB}{\triangle OAC}・\frac{\triangle OBC}{\triangle OAB}・\frac{\triangle OAC}{\triangle OBC}=1}$

まとめ

● チェバの定理

　$\displaystyle{\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=1}$

　どこかの頂点から一筆書きで一周する

問題

チェバの定理より

　$\displaystyle{\frac{BP}{PC}・\frac{3}{2}・\frac{1}{2}=1}$

　$\displaystyle{\frac{BP}{PC}・\frac{3}{4}=1}$

　$\displaystyle{\frac{BP}{PC}=\frac{4}{3}}$

よって　$BP：PC=4：3$