ベクトルが表す点の存在範囲
$\triangle OAB$ において,$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ で表されるときの点 $P$ の存在範囲は
1 $s+t=1 \iff$ 点 $P$ は直線 $AB$ 上
2 $s≧0,t≧0,s+t=1 \iff$ 点 $P$ は線分 $AB$ 上
3 $s≧0,t≧0,s+t≦1 \iff$ 点 $P$ は $\triangle OAB$ の周および内部
4 $0≦s≦1,0≦t≦1 \iff$ 点 $P$ は平行四辺形 $OACB$ の周および内部
ただし,点 $C$ は $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$ を満たす点
1 $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $s+t=1$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/15485200af3070e7427dd6980542e356.png)
点 $P$ は直線 $AB$ 上
2 $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $s≧0,t≧0,s+t=1$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/1d8d112ec91db10875fed861868d8591.png)
点 $P$ は線分 $AB$ 上
3 $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $s≧0,t≧0,s+t≦1$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/47b29f2605799423c94687a39186de10.png)
点 $P$ は$\triangle OAB$ の周および内部
4 $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $0≦s≦1,0≦t≦1$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/23faba9863c10a9b4d3a33cee66e7524.png)
点 $P$ は平行四辺形 $OACB$ の周および内部
ただし,点 $C$ は $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$ を満たす点
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
今回は1と2の存在範囲について考えてみよう!
直線 $AB$ 上の場合
1 $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $s+t=1$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/15485200af3070e7427dd6980542e356.png)
点 $P$ は直線 $AB$ 上
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
これは「内分点と外分点におけるベクトル」を考えれば理解できるよ!
$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $s+t=1$
を簡単にすると
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/fda6e6e0bc0d41dbbaa4f86392ef2ac2.png)
内分点におけるベクトルを考えてみると
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/5322255f8ec569799b195d98d0fdf7ac.png)
外分点におけるベクトルを考えてみると
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/8af700d5a70412b16d7b98eb59eb20a8.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
たしかに,内分点と外分点におけるベクトルは「係数和が1」になるね!
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
文字式でも確認しておこう!
● 内分点におけるベクトル
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/ca0708ad93e6f231ac556bc8d89f625a.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/ef43d19bf4581507b1496ee57186ec72.png)
● 外分点におけるベクトル
$m>n$ のとき
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/3e2f18d946d37799b3bf2dac7ff38df8-1.png)
$m<n$ のとき
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/c5b5c838a1a33489d3bdcf8ec9808df0-2.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/e9c09d16e7050968f656209b9ccb22ce.png)
以上より
内分点と外分点におけるベクトルは「係数和が1」になる
つまり
点 $P$ が辺 $AB$ の内分点または外分点の場合は 「係数和が1」になる
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/d6f87469fdaac5391da68349f7b8e593.png)
$s=1,t=0$ のとき
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}$
点 $P$ は点 $A$ と一致する
$s=0,t=1$ のとき
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}$
点 $P$ は点 $B$ と一致する
よって
$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $s+t=1$
のとき
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/15485200af3070e7427dd6980542e356.png)
点 $P$ は直線 $AB$ 上
線分 $AB$ 上の場合
2 $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $s≧0,t≧0,s+t=1$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/1d8d112ec91db10875fed861868d8591.png)
点 $P$ は線分 $AB$ 上
1 $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $s+t=1$
の条件に
$s≧0,t≧0$
「係数がともに $0$ 以上」という条件が加わったと考えればよい
$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $s≧0,t≧0,s+t=1$
を簡単にすると
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/a770eb601176b08da44946cfe15e8713.png)
正確には係数が $0$ 以上
内分点におけるベクトルの場合は
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/49b03e77b69ec37a1790e0a46a593fca.png)
「係数がともに正」になる
外分点におけるベクトルの場合は
$m>n$ のとき
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/7b3052a8d350d3fbe05d44e6452a34c6.png)
$m<n$ のとき
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/b82fe13d87498482cb888e2a5678e221.png)
「係数のどちらかが負」になる
よって
点 $P$ が辺 $AB$ の内分点の場合「係数和が1」かつ「係数がともに正」である
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/a6cdaf0bdaa556c4016a91eb562055b1.png)
$s=1,t=0$ のとき
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}
点 $P$ は点 $A$ と一致する
$s=0,t=1$ のとき
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}
点 $P$ は点 $B$ と一致する
したがって
$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $s≧0,t≧0,s+t=1$
のとき
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/1d8d112ec91db10875fed861868d8591.png)
点 $P$ は線分 $AB$ 上
存在範囲の利用
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/97c80351840ef8a75b070234f25d5c9d-1.png)
辺 $OB$ を $2:1$ に内分した点を $C$ なので
$\displaystyle{\overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}}$
線分 $AC$ を $3:1$ に内分した点を $D$ なので
\begin{eqnarray} \overrightarrow{OD} &=& \frac{\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OC}}{3+1} \\\\ &=& \frac{\overrightarrow{OA}+3\cdot\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}}{3+1} \\\\ &=& \frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} \end{eqnarray}直線 $OD$ 上に点 $P$ があるので,
$\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OD}$($k$ は実数)
と表せる
\begin{eqnarray} \overrightarrow{OP} &=& k(\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}) \\\\ &=& \frac{1}{4}k\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}k\overrightarrow{OB} \end{eqnarray}点 $P$ は直線 $AB$ 上にあるので
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/c8a9ff1d8d744d73589cc98f4efee57e.png)
したがって
$\displaystyle{\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
問題にも使えるから,知っておくと便利だね!
まとめ
● $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $s+t=1$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/fda6e6e0bc0d41dbbaa4f86392ef2ac2.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/15485200af3070e7427dd6980542e356.png)
点 $P$ は直線 $AB$ 上
● $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ $s≧0,t≧0,s+t=1$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/a770eb601176b08da44946cfe15e8713.png)
正確には係数が $0$ 以上
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/09/1d8d112ec91db10875fed861868d8591.png)
点 $P$ は線分 $AB$ 上
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
問題で使えるように理解を深めておこう!
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