内分点と外分点とは
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内分点と外分点について復習しよう!
● 線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/c1f462c013d41c9722d217f22ab89aa0.png)
点 $P$ は $AP:PB=m:n$ を満たす
線分 $AB$ を線分の内側で分ける点だから「内分点」
● 線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/4d0f0d86e6f249639cfb836a1a90c9b0.png)
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点 $Q$ は $AQ:QB=m:n$ を満たす
線分 $AB$ を線分の外側で分ける点だから「外分点」
外分点は $m$ と $n$ の大小関係によって
$A$ 側にとるか,$B$ 側にとるかが変わるので注意
内分点と外分点について詳しくはこれ↓
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/20210530-160x90.jpg)
内分点におけるベクトル
$\triangle OAB$ において,$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$,$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とする。
辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点 $P$ について,$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ。
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毎回この計算をするのは大変なので一般化してみよう!
$\triangle OAB$ において,$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$,$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とする。
辺 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ について,$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ。
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/ca4146235730fa9c1649555a573c3e95.png)
$\triangle OAB$ において,辺 $AB$ を $m:n$ に内分する点を $P$ とすると
$\displaystyle{\overrightarrow{OP}=\frac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/ca0708ad93e6f231ac556bc8d89f625a.png)
$\displaystyle{\overrightarrow{OP}=\frac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}}$
外分点におけるベクトル
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
外分点におけるベクトルも内分点と同様に考えることができる!
$\triangle OAB$ において,$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$,$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とする。
辺 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ について,$\overrightarrow{OQ}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ。
$m>n$ のとき
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/3e2f18d946d37799b3bf2dac7ff38df8.png)
$m<n$ のとき
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/c5b5c838a1a33489d3bdcf8ec9808df0.png)
$\triangle OAB$ において,辺 $AB$ を $m:n$ に外分する点を $Q$ とすると
$\displaystyle{\overrightarrow{OQ}=\frac{-n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m-n}}$
$m>n$ のとき
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/3e2f18d946d37799b3bf2dac7ff38df8-1.png)
$m<n$ のとき
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/c5b5c838a1a33489d3bdcf8ec9808df0-2.png)
$\displaystyle{\overrightarrow{OQ}=\frac{-n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m-n}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
内分点と外分点の座標の式とよく似ているね!
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よく気が付いたね!
内分は「足してクロス」
外分は「引いてクロス」
だったね!
問題
(1) $\overrightarrow{OC}$
点 $C$ は辺 $AB$ を $3:2$ に内分する点なので
\begin{eqnarray} \overrightarrow{OC} &=& \frac{2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{3+2} \\\\ &=& \frac{2}{5}\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{b} \end{eqnarray}(2) $\overrightarrow{OD}$
点 $D$ は辺 $AB$ を $3:1$ に内分する点なので
\begin{eqnarray} \overrightarrow{OD} &=& \frac{-\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{3-1} \\\\ &=& -\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b} \end{eqnarray}(3) $\overrightarrow{OE}$
点 $E$ は辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点なので
\begin{eqnarray} \overrightarrow{OE} &=& \frac{-3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}}{2-3} \\\\ &=& 3\vec{a}-2\vec{b} \end{eqnarray}![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
平行四辺形を題材とした問題も解いてみよう!
(1) $\overrightarrow{AE}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/1f122baea4e632c7d2e7dec2f55b359e.png)
点 $E$ は辺 $BD$ を $4:1$ に内分する点なので
\begin{eqnarray} \overrightarrow{AE} &=& \frac{\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AD}}{4+1} \\\\ &=& \frac{1}{5}\vec{b}+\frac{4}{5}\vec{d} \end{eqnarray}(2) $\overrightarrow{AF}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/1b63912e9efcd8ebabb6c94ee04e60e2.png)
$\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$
点 $F$ は辺 $BC$ を $1:3$ に内分する点なので
\begin{eqnarray} \overrightarrow{AF} &=& \frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{1+3} \\\\ &=& \frac{3}{4}\vec{b}+\frac{1}{4}(\vec{b}+\vec{d}) \\\\ &=& \vec{b}+\frac{1}{4}\vec{d} \end{eqnarray}<別解>
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/1b63912e9efcd8ebabb6c94ee04e60e2.png)
まとめ
● 内分点におけるベクトル
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/ca0708ad93e6f231ac556bc8d89f625a.png)
$\displaystyle{\overrightarrow{OP}=\frac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}}$
● 外分点におけるベクトル
$m>n$ のとき
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$m<n$ のとき
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/c5b5c838a1a33489d3bdcf8ec9808df0-2.png)
$\displaystyle{\overrightarrow{OQ}=\frac{-n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m-n}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
使う場面が非常に多いので,きちんと解けるようにしておこう!
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