内分点・外分点の座標

高校数学Ⅱで学ぶ『内分点・外分点の座標』について解説しました！

忘れやすい公式の１つである『内分点・外分点の公式』を覚えやすく説明しています！

ポイントは、「内分は足してクロス」「外分は引いてクロス」

この投稿を見れば、『内分点・外分点の座標』はバッチリ！

内分点と外分点とは

● 線分 $\text{AB}$ の内分点と外分点の位置

● 内分点

線分 $\text{AB}$ を $m:n$ に内分する点 $\text{P}$

点 $\text{P}$ は $\text{AP}:\text{PB}=m:n$ を満たす

$\text{AB}$ を分ける点なので，$\text{P}$ を $\text{AB}$ の間に入れる

$\text{A}\to \text{P}\to \text{B}$ の一筆書きで $m:n$

$\text{A}$$\text{P}$$:$$\text{P}$$\text{B}=m:n$

● 外分点

線分 $\text{AB}$ を $m:n$ に外分する点 $\text{Q}$

点 $\text{Q}$ は $\text{AQ}:\text{QB}=m:n$ を満たす

$\text{AB}$ を分ける点なので，$\text{Q}$ を $\text{AB}$ の間に入れる

$\text{A}\to \text{Q}\to \text{B}$ の一筆書きで $m:n$

$\text{A}$$\text{Q}$$:$$\text{Q}$$\text{B}=m:n$

外分点は $m$ と $n$ の大小関係によって

$\text{A}$ 側にとるか，$\text{B}$ 側にとるかが変わるので注意

　

内分点と外分点の復習はこれ↓

内分点と外分点

線分の内分点と外分点のとり方のポイント！外分点が苦手な人は必見！一筆書きで点がとれる！

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2022.12.17

数直線における内分点・外分点

数直線上の点の表し方

数直線上において，点 $\text{P}$ の座標が $a$ であるとき，

点 $\text{P}(a)$ と表す

例えば，$\text{P}(1)$，$\text{Q}(3)$の場合

数直線上の２点間の距離

2点 $\text{P}(1)$，$\text{Q}(3)$ の距離 $\text{PQ}$ は

　$\text{PQ}=3-1=2$

数直線上の２点間 $\text{P}(p)$，$\text{Q}(q)$ の距離は

$p<q$ のとき　　$q-p$ 　　で求まる

座標の大小関係を比べたときに　「大ー小」　で距離が求まる

数直線における内分点の座標

$a<b$ のとき

$a<p<b$ であるので，

　　$\text{AP}=p-a$，$\text{BP}=b-p$ である

$\text{AP}:\text{PB}=m:n$ より

　　$(p-a):(b-p)=m:n$

　　　　$n(p-a)=m(b-p)$

　　　　$np-na=mb-mp$

　　　　$mp+np=na+mb$

　　　　$(m+n)p=na+mb$

　　　　　　　　${\displaystyle p=\frac{na+mb}{m+n}}$

$a>b$ のとき

$b<p<a$ であるので，

　　$\text{AP}=a-p$，$\text{BP}=p-b$ である

$\text{AP}:\text{PB}=m:n$ より

　　$(a-p):(p-b)=m:n$

　　　　$n(a-p)=m(p-b)$

整理すると　　${\displaystyle p=\frac{na+mb}{m+n}}$

　

数直線上における外分点の座標

$m>n$，$a<b$ のとき

a<b<q$ より

　　$\text{AQ}=q-a$，$\text{BQ}=q-b$ である

$\text{AQ}:\text{QB}=m:n$ より

　　$(q-a):(q-b)=m:n$

　　　　$n(q-a)=m(q-b)$

　　　　$nq-na=mq-mb$

　　　　$mq-nq=-na+mb$

　　　　$(m-n)q=-na+mb$

　　　　　　　　${\displaystyle q=\frac{-na+mb}{m-n}}$

$m>n$，$a<b$ のとき

q<b<a$ より

　　$\text{AQ}=a-q$，$\text{BQ}=b-q$ である

$\text{AQ}:\text{QB}=m:n$ より

　　$(a-q):(b-q)=m:n$

　　　　$n(a-q)=m(b-q)$

整理すると　　${\displaystyle q=\frac{-na+mb}{m-n}}$

　

　

平面上の内分点・外分点の座標

$\text{P}(x，y)$ とすると

下図のように，点をとると

平行線と線分の比の関係より

　　$\text{CH}:\text{HD}=m:n$

　　$\text{EK}:\text{KF}=m:n$

点 $\text{P}$ の $x$ 座標について

　　${\displaystyle x=\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n}}$

点 $\text{P}$ の $y$ 座標について

　　${\displaystyle y=\frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n}}$

したがって，点 $\text{P}$ の座標は

　　${\displaystyle \left(\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n}，\frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n}\right)}$

　

　

　　

中点の座標

中点とは，$1:1$ に内分することなので，

内分点の座標の公式を用いると

２点 $\text{A}(x_1，y_1)$，$\text{B}(x_2，y_2)$ を結ぶ線分 $\text{AB}$ の中点の座標は

　　　${\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}{2}，\frac{y_1+y_2}{2}\right)}$

内分点・外分点の座標の公式を使う

　

　

まとめ

● 内分点・外分点の座標

　２点 $\text{A}(x_1，y_1)$，$\text{B}(x_2，y_2)$ を結ぶ線分 $\text{AB}$ を

　　$m:n$ に内分する点は　　${\displaystyle \left(\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n}，\frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n}\right)}$

　　$m:n$ に外分する点は　　${\displaystyle \left(\frac{-n{x}_1+m{x}_2}{m-n}，\frac{-n{y}_1+m{y}_2}{m-n}\right)}$

● 中点の座標

　２点 $\text{A}(x_1，y_1)$，$\text{B}(x_2，y_2)$ を結ぶ線分 $\text{AB}$ の中点の座標は　${\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}{2}，\frac{y_1+y_2}{2}\right)}$