場合分けが必要な絶対値の方程式・不等式

次の方程式・不等式を解け。
(1)　$|x+1|=2x$
(2)　$|2x-6| < x+3$
(3)　$|x+1|+|x-2|=x+3$

次の式について，$x$ の値によって場合分けして絶対値の記号をはずせ。
$$|x-1|$$

　絶対値の中 $x-1$ が正（$0$ 以上）のとき

　$x-1≧0$ すなわち $x≧1$ のとき

$|x-1|=x-1$　
（そのままはずす）

　絶対値の中 $x-1$ が負のとき

　$x-1<0$ すなわち $x < 1$ のとき

$|x-1|=-(x-1)=-x+1$　
（マイナスをつけてはずす）

　まとめると

\begin{align} &|x-1|=\left\{ \begin{array}{ll} x-1　　(x≧1　のとき) \\ -x+1　(x<1　のとき) \end{array} \right. \end{align}

方程式 $|x+1|=2x$ を解け。

　[1]　$x+1≧0$ すなわち $x ≧ -1$ のとき
　　（絶対値の中が $0$ 以上のとき）

\begin{eqnarray} |x+1| & = & 2x \\ x+1 & = & 2x （そのままはずす）\\ x & = & 1 \end{eqnarray}

これは $x ≧ -1$ を満たす
場合分けの条件を満たしているか確認する

　[2]　$x+1 < 0$ すなわち $x < -1$ のとき
　　（絶対値の中が負のとき）

\begin{eqnarray} |x+1| & = & 2x \\ -(x+1) & = & 2x （マイナスをつける）\\ x & = & -\frac{1}{3} \end{eqnarray}

これは $x < -1$ を満たさないため不適
場合分けの条件を満たしているか確認する

　[1]，[2] より

$x=1$（答）

不等式 $|2x-6| < x+3$ を解け。

　[1]　$2x-6≧0$ すなわち $x ≧ 3$ のとき
　　（絶対値の中が $0$ 以上のとき）

\begin{eqnarray} |2x-6| & < & x+3 \\ 2x-6 & < & x+3 （そのままはずす）\\ x & < & 9 \end{eqnarray}

　[2]　$2x-6 < 0$ すなわち $x < 3$ のとき
　　（絶対値の中が負のとき）

\begin{eqnarray} |2x-6| & < & x+3 \\ -(2x-6) & < & x+3 （マイナスをつける）\\ x & > & 1 \end{eqnarray}

　[1]，[2] より，　$1 < x < 3$　または　$3 ≦ x < 9$

$1 < x < 9$（答）

次の式について，$x$ の値によって場合分けして絶対値の記号をはずせ。
$$|x+1|+|x-2|$$

\begin{array}{c|c|c|c} & x < -1 & -1 ≦ x < 2 & 2 ≦ x \\ \hline \\ |x+1| & -x-1 & x+1 & x+1 \\\\ |x-2| & -x+2 & -x+2 & x-2 \\\\ \end{array}

　$x < -1$ のとき
　$|x+1|=-x-1$，$|x-2|=-x+2$ なので

\begin{eqnarray} && |x+1|+|x-2| \\ & = & (-x-1)+(-x+2) \\ & = & -2x+1 \end{eqnarray}

　$-1 ≦ x < 2$ のとき
　$|x+1|=x+1$，$|x-2|=-x+2$ なので

\begin{eqnarray} && |x+1|+|x-2| \\ & = & (x+1)+(-x+2) \\ & = & 3 \end{eqnarray}

　$2 ≦ x$ のとき
　$|x+1|=x+1$，$|x-2|=x-2$ なので

\begin{eqnarray} && |x+1|+|x-2| \\ & = & (x+1)+(x-2) \\ & = & 2x-1 \end{eqnarray}

　まとめると

\begin{align} &|x+1|+|x-2|=\left\{ \begin{array}{lll} -2x+1　　(x<-1　のとき) \\ 3　　　(-1 ≦ x < 2　のとき) \\ 2x-1　　(2≦x　のとき) \end{array} \right. \end{align}

方程式 $|x+1|+|x-2|=x+3$ を解け。

　[1]　$x < -1$ のとき

\begin{eqnarray} |x+1|+|x-2| & = & x+3 \\ -(x+1)-(x-2) & = & x+3 \\ x & = & -\frac{2}{3} \end{eqnarray}

これは $x < -1$ を満たさないため不適
場合分けの条件を満たしているか確認する

　[2]　$-1 ≦ x < 2$ のとき

\begin{eqnarray} |x+1|+|x-2| & = & x+3 \\ (x+1)-(x-2) & = & x+3 \\ x & = & 0 \end{eqnarray}

これは $-1 ≦ x < 2$ を満たす
場合分けの条件を満たしているか確認する

　[3]　$2 ≦ x$ のとき

\begin{eqnarray} |x+1|+|x-2| & = & x+3 \\ (x+1)+(x-2) & = & x+3 \\ x & = & 4 \end{eqnarray}

これは $2 ≦ x$ を満たす
場合分けの条件を満たしているか確認する

　[1]，[2]，[3] より，

$x=0$，$4$（答）

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🔴文字係数の１次不等式を場合分けして解く方法を解説　　
🔴１次不等式の整数解の個数に関する問題を解説