平方完成｜基本

２次関数でよく出題される計算といったら『平方完成』

『平方完成』は２次関数の『軸』と『頂点』を求める大切な計算！

２次関数の大問の最初にする計算なので，間違えないことが必要不可欠！

「『平方完成』が全然わからない！！！」

「『平方完成』を基本の基本から教えて！！！」

という人のための『平方完成』の基本がわかる記事です！

これを見れば，『平方完成』の基本はばっちり！

平方完成とは

なぜ平方完成をするのか

２次関数 $y=ax^2+bx+c$ は放物線

放物線には，『下に凸』と『上に凸』という形がある

放物線の位置を決めるものとして，『軸』と『頂点』がある

$y=ax^2+bx+c$ の形のままでは『軸』と『頂点』が分からない

$y=a(x-p)^2+q$ という形に式変形することで，『軸』と『頂点』が分かる

すなわち，平方完成することで『軸』と『頂点』が分かる

　

$y=a(x-p)^2+q$

　　軸　　直線 $x=p$
頂点　$(p，q)$

　

平方完成の準備

因数分解の公式　$x^2-2ax+a^2=(x-a)^2$ を式変形した

$x^2-2ax=(x-a)^2-a^2$

を用いると平方完成ができる

　　　　$x^2-$$2a$$x$
　　　 　　　↓半分
　　　$=(x-$$a$$)^2-$$a^2$
　　　　　　 ｜___↑２乗を引く

平方完成

(1)
　　　$y=x^2-$$2$$x+2$
　　　　　　 　↓半分
　　　$　=(x-$$1$$)^2-$$1^2$$+2$
　　　　　　　 ｜__↑２乗を引く
　　　$　=(x-1)^2+1$

　

(2)
　　　$y=x^2+$$4$$x-2$
　　　　　　 　↓半分
　　　$　=(x+$$2$$)^2-$$2^2$$-2$
　　　　　　　 ｜__↑２乗を引く
　　　$　=(x+2)^2-6$

　

(3)
　　　$y=x^2-$$6$$x+8$
　　　　　　 　↓半分
　　　$　=(x-$$3$$)^2-$$3^2$$+8$
　　　　　　　 ｜__↑２乗を引く
　　　$　=(x-3)^2-1$

　

(4)
　　　$y=x^2+$$　$$x+1$
　　　　　　 　↓半分
　　　$　=(x+$$\frac{1}{2}$$)^2-$$(\frac{1}{2})^2$$+1$
　　　　　　　 ｜____↑２乗を引く
　　　$　=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$

まとめ

●平方完成とは２次関数 $y=ax^2+bx+c$ を $y=a(x-p)^2+q$ という形に変形すること

●平方完成をすることで、２次関数の『軸』と『頂点』が求まる

$y=a(x-p)^2+q$

　　軸　　直線 $x=p$
頂点　$(p，q)$

●平方完成のやり方

　　　　$x^2-$$2a$$x$
　　　 　　　↓半分
　　　$=(x-$$a$$)^2-$$a^2$
　　　　　　 ｜___↑２乗を引く

問題

解答

(1)
　　　$y=x^2+$$2$$x+2$
　　　　　　 　↓半分
　　　$　=(x+$$1$$)^2-$$1^2$$+2$
　　　　　　　 ｜____↑２乗を引く
　　　$　=(x+1)^2+1$

　

(2)
　　　$y=x^2-$$4$$x-1$
　　　　　　 　↓半分
　　　$　=(x-$$2$$)^2-$$2^2$$-1$
　　　　　　　 ｜__↑２乗を引く
　　　$　=(x-2)^2-5$

　

(3)
　　　$y=x^2+$$6$$x+6$
　　　　　　 　↓半分
　　　$　=(x+$$3$$)^2-$$3^2$$+6$
　　　　　　　 ｜__↑２乗を引く
　　　$　=(x+3)^2-3$

　

(4)
　　　$y=x^2-$$　$$x+2$
　　　　　　 　↓半分
　　　$　=(x-$$\frac{1}{2}$$)^2-$$(\frac{1}{2})^2$$+2$
　　　　　　　 ｜____↑２乗を引く
　　　$　=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}$

　

　

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🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要！
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