指数関数を含む方程式

　$a>0$ で，$m$，$n$ は正の整数とする

　　$\displaystyle{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}$　　　　　　$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$　　　　　　$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

次の方程式を解け。

(1)　$4^x=8$　　　　(2)　$\displaystyle{8^x=\frac{1}{4}}$　　　　(3)　$9^x=27^{1-x}$

(4)　$125^x=\sqrt[3]{25}$　　　　　(5)　$\displaystyle{4^x=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

　(1)　$4^x=8$

$4^x=8$

$(2^2)^x=2^3$

$2^{2x}=2^3$

$2x=3$

$\displaystyle{x=\frac{3}{2}}$

　(2)　$\displaystyle{8^x=\frac{1}{4}}$

$\displaystyle{8^x=\frac{1}{4}}$

$(2^3)^x=2^{-2}$

$2^{3x}=2^{-2}$

$3x=-2$

$\displaystyle{x=-\frac{2}{3}}$

　(3)　$9^x=27^{1-x}$

$\displaystyle{9^x=27^{1-x}}$

$(3^2)^x=(3^3)^{1-x}$

$3^{2x}=3^{3-3x}$

$2x=3-3x$

$\displaystyle{x=\frac{3}{5}}$

　(4)　$125^x=\sqrt[3]{25}$

$125^x=\sqrt[3]{25}$

$(5^3)^x=\sqrt[3]{5^2}$

$5^{3x}=5^{\frac{2}{3}}$

$\displaystyle{3x=\frac{2}{3}}$

$\displaystyle{x=\frac{2}{9}}$

　(5)　$\displaystyle{4^x=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$\displaystyle{4^x=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$(2^2)^x=2^{-\frac{1}{2}}$

$2^{2x}=2^{-\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{2x=-\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{x=-\frac{1}{4}}$

$4^x-3\cdot2^x-4=0$

$(2^2)^x-3\cdot2^x-4=0$

$2^{2x}-3\cdot2^x-4=0$

$(2^x)^2-3\cdot2^x-4=0$

　$2^x=t$ とすると

$t^2-3t-4=0$

$(t+1)(t-4)=0$

$t=-1，4$

$2^x=-1，4$

　$2^x>0$ より　　$2^x=-1$ は不適

$2^x=4$

$2^x=2^2$

$x=2$

$3\cdot9^x-10\cdot3^x+3=0$

$3\cdot(3^2)^x-10\cdot3^x+3=0$

$3\cdot3^{2x}-10\cdot3^x+3=0$

$3\cdot(3^x)^2-10\cdot3^x+3=0$

　$3^x=t$ とすると

$3t^2-10t+3=0$

$(3t-1)(t-3)=0$

$\displaystyle{t=\frac{1}{3}，3}$

$\displaystyle{3^x=\frac{1}{3}，3}$

$3^x=3^{-1}，3^1$

$x=-1，1$