文字係数の方程式

２次方程式を解くときに、最初に考えることは「因数分解できないか」です。
因数分解ができないようならば、解を公式を使います。

今回の問題は因数分解できるので、たすき掛けをして因数分解をします。

　　　$x^2+(a-2)x-2a=0$
　　　　$(x-2)(x+a)=0$
　　　　　　　　　　　$x=2，-a$

まずは式を整理します

$a^2x-a=2ax$
$a^2x-2ax=a$
$(a^2-2a)x=a$
$a(a-2)x=a$

次に両辺を $a(a-2)$ で割りたいところですが、要注意です！

文字で割るときに注意しなければならないのが、

その文字が $0$ である場合と $0$ でない場合に分けて考えなければならないこと！

なぜ場合分けが必要なのかというと、$0$ で割ることはできないからです。０で割れない理由

今回は両辺を $a(a-2)$ で割りたいので、

　　$a(a-2)=0$ のとき
　　すなわち　(ア)　$a=0$ のとき　または　 (イ)　$a=2$ のとき

　　$a(a-2)≠0$ のとき
　　すなわち　(ウ)　$a≠0$，$2$ のとき

に分けて解答を作る必要があります。

$a(a-2)x=a$ より

　(ア)　$a=0$ のとき，この方程式は　　$0\cdot x=0$

　　すべての $x$ で成り立つ（$x$ に何が代入されても等式が成り立つ）から，解はすべての実数

　(イ)　$a=2$ のとき，この方程式は　　$0\cdot x=2$

　　この式は成り立たない（$x$ に何を代入しても左辺は $0$）から，解はない

　(ウ)　$a≠0，2$ のとき，両辺を $a(a-2)$ で割って【$a(a-2)≠0$ なので割れる】

　　　　　$\displaystyle{x=\frac{a}{a(a-2)}=\frac{1}{a-2}}$

　(ア)～(ウ) より

因数分解できなさそうなので、解の公式を使うのかと思いきや…

この方程式は

　　$x^2$ の係数が $0$ のとき、１次方程式
　　$x^2$ の係数が $0$ でないとき、２次方程式

という２パターンに分けられます。

もちろん、解き方も異なるので場合分けが必要です。

$ax^2-x-a=0$

　(ア)　$a=0$ のとき，この方程式は　　$-x=0$（１次方程式）

　　　これを解くと　　$x=0$

　(イ)　$a≠0$ のとき，この方程式は　　$ax^2-x-a=0$（２次方程式）

　　　解の公式より　　$\displaystyle{x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot a\cdot(-a)}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{4a^2+1}}{2a}}$

　　　$4a^2+1>0$ より，これは解として適する（√の中が負の数でないことを確認）

　(ア)～(イ) より

🔴軸に定数を含む２次関数の最大・最小の場合分け　
🔴定義域の片端に定数を含む２次関数の最大・最小の場合分け　
🔴定義域の両端に定数を含む２次関数の最大・最小の場合分け
🔵因数分解形を利用した２次関数の決定
🔵２次関数のグラフと係数の符号
🔴文字係数の２次不等式
🔴異なる２つの正の解・負の解・異符号
🔴異なる２つの○より大きい・小さい解