よく出題されるけど，理解できていない高校生が多いテーマ！
きちんとおさえておこう！
極値をもつための条件
今回学ぶのはこれ！
$D>0$ $\iff$ 関数 $f(x)$ は極値をもつ
急に判別式 $D$ が出てきた…
全く理解できない…
これが理解できれば，極値に対する理解も深まる！
ひとつひとつ理解していけば必ず分かるよ！
極値とは
極大 … 増加から減少に切りかわるところ
極小 … 減少から増加に切りかわるところ
極大における $y$ の値を極大値
極小における $y$ の値を極小値
極大値と極小値をまとめて 極値
逆に，増減が入れかわらないような
常に増加する または 常に減少する
関数は極値をもたない
常に増加するので，極値をもたない
常に減少するので，極値をもたない
極値をもつ，もたないは，増減が入れかわるかどうかがポイントだね！
関数の増減と $f'(x)$ の関係
増減が入れかわるかどうかで，極値をもつ，もたないが決まる！
ここで，関数の増減が調べられる，導関数 $f'(x)$ について復習しよう！
$f'(x)<0$ となる $x$ の値の範囲では $f(x)$ は減少する
「関数の増減と $f'(x)$ の関係」詳しくはこれ↓
$f'(x)$ の符号によって，関数 $f(x)$ の増減が決まる！
つまり，増減が入れかわるかどうかは，$f'(x)$ の符号が入れかわるかどうかで調べられる！
$f'(x)$ の符号が入れかわらないとき，関数 $f(x)$ の増減が入れかわらないので極値をもたない
$f'(x)$ の比較
極値をもつときともたないときの $f'(x)$ について，具体的に比較してみよう！
極値をもつ関数
導関数 $f'(x)$ を求めると
$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$
$f'(x)=0$ を求めると
$3x(x-2)=0$
$x=0，2$
$f'(x)$ のグラフをかくと
$f'(x)$ の符号が入れかわるので増減が入れかわる
関数 $f(x)=x^3-3x^2$ は極値をもつ
極値をもたない関数
導関数 $f'(x)$ を求めると
$f'(x)=3x^2$
$f'(x)=0$ を求めると
$3x^2=0$
$x=0$
$f'(x)$ のグラフをかくと
$f'(x)$ の符号が入れかわらないので常に増加する
関数 $f(x)=x^3$ は極値をもたない
導関数 $f'(x)$ を求めると
$f'(x)=3x^2+1$
$f'(x)=0$ を求めると
$3x^2=-1$
この方程式は実数解をもたない
$f'(x)$ のグラフをかくと
$f'(x)$ の符号が入れかわらないので常に増加する
関数 $f(x)=x^3+x$ は極値をもたない
極値をもつための $f'(x)$ のグラフの条件
３つの関数の $f'(x)$ について考えてみたけど，違いに気づいた？
$x$ 軸との共有点の個数が違うみたいだね！
① $f'(x)=3x(x-2)$
共有点２個
② $f'(x)=3x^2$
共有点１個
③ $f'(x)=3x^2+1$
共有点０個
その通り！
$x$ 軸との共有点が２個のときだけ，$f'(x)$ の符号が入れかわることがわかるね！
$f'(x)$ と $x$ 軸との共有点が２個のときは極値をもつということがいえそう！
２次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の個数はどうやって調べられる？
判別式 $D$ で調べられる！
数学Ⅰで習ったね！
２次関数 $y=ax^2+bx+c$ に $y=0$ を代入した
２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式を $D=b^2-4ac$ とすると
２点で交わる
$D>0$
１点で交わる
$D=0$
交わらない
$D<0$
$f'(x)$ と $x$ 軸の共有点が２個のとき，関数 $f(x)$ は極値をもつ
すなわち
$f'(x)=0$ の判別式を $D$ とするとき，
$D>0$ $\iff$ 関数 $f(x)$ は極値をもつ
$D>0$ $\iff$ 関数 $f(x)$ は極値をもつ
問題
関数 $f(x)=x^3-ax^2+3x$ を微分すると
$f'(x)=3x^2-2ax+3$
$3x^2-2ax+3=0$ の判別式を $D$ とすると
$\displaystyle{\frac{D}{4}=a^2-9}$
$f(x)$ が極値をもつとき，$D>0$ なので
$a^2-9>0$
$(a+3)(a-3)>0$
$a<-3，3<a$
分かっていれば，判別式を使うだけで解けるね！
まとめ
● 極値をもつための条件
$f'(x)=0$ の判別式を $D$ とすると
$D>0$ $\iff$ 関数 $f(x)$ は極値をもつ
極値に関する理解も深まったね！
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