漸化式① | シグにゃんの数学ブログ

漸化式とは
漸化式の基本パターン
① $a_{n + 1} = a_{n} + d$
② $a_{n + 1} = r a_{n}$
まとめ

漸化式とは

漸化式 … 前の項から次の項を求めるための関係式

数列において，初項と隣り合う $2$ 項間の関係（漸化式）が分かれば，すべての項が定まる

例えば

\begin{array}{rcl} [1] & a_{1} = 1 \\ [2] & a_{n + 1} = 2 a_{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots \dots) \end{array}

　 $[2]$ の式に $n = 1$ を代入すると

$a_{2} = 2 a_{1} = 2 \cdot 1 = 2$

　 $[2]$ の式に $n = 2$ を代入すると

$a_{3} = 2 a_{2} = 2 \cdot 2 = 4$

　 $[2]$ の式に $n = 3$ を代入すると

$a_{4} = 2 a_{3} = 2 \cdot 4 = 8$

というように，漸化式により前後の関係が分かれば，初項から次の項を順に求めることができる

漸化式の基本パターン

初項と漸化式が与えられた場合に一般項を求めてみよう！

以下の４パターンは確実に求められるように練習しよう！

漸化式の基本パターン

　①　 $a_{n + 1} = a_{n} + d$

　②　 $a_{n + 1} = r a_{n}$

　③　 $a_{n + 1} = a_{n} + (n の式)$

　④　 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$

漸化式の形を見たら解き方が分かるようにしよう！

① $a_{n + 1} = a_{n} + d$

a_{1} = 2

，

a_{n + 1} = a_{n} + 3

によって定められる数列

{a_{n}}

　 $n = 1$ を代入すると

$a_{2} = a_{1} + 3 = 2 + 3 = 5$

　 $n = 2$ を代入すると

$a_{3} = a_{2} + 3 = 5 + 3 = 8$

　 $n = 3$ を代入すると

$a_{4} = a_{3} + 3 = 8 + 3 = 11$

　数列 ${a_{n}}$ を並べてみると

$2 ， 5 ， 8 ， 11 ， \dots \dots$

　数列 ${a_{n}}$ は初項 $2$ ，公差 $3$ の等差数列であることがわかる

　 $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ が表しているのは

前の項に $3$ を足すと次の項が求まる

　ということ

　以上より，数列 ${a_{n}}$ の漸化式が $a_{n + 1} = a_{n} + d$ で表されるとき

数列 ${a_{n}}$ は公差 $d$ の等差数列である

①　

a_{n + 1} = a_{n} + d

　数列

{a_{n}}

は公差

d

の等差数列である

初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列 ${a_{n}}$ の一般項は覚えてる？

$a_{n} = a + (n - 1) d$ だったよね！

等差数列の一般項についてはこれ↓

等差数列の一般項

数列の超入門！数列の基本と等差数列の一般項について学ぼう！

　次の条件によって定められる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

　(1)　 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 4$

　(2)　 $a_{1} = 5$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - 3$

　(1)　 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 4$

　　数列 ${a_{n}}$ は初項 $1$ ，公差 $4$ の等差数列であるので

$a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 4 = 4 n - 3$

　(2)　 $a_{1} = 5$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - 3$

　　数列 ${a_{n}}$ は初項 $5$ ，公差 $- 3$ の等差数列であるので

$a_{n} = 5 + (n - 1) \cdot (- 3) = - 3 n + 2$

② $a_{n + 1} = r a_{n}$

a_{1} = 2

，

a_{n + 1} = 3 a_{n}

によって定められる数列

{a_{n}}

　 $n = 1$ を代入すると

$a_{2} = 3 a_{1} = 3 \cdot 2 = 6$

　 $n = 2$ を代入すると

$a_{3} = 3 a_{2} = 3 \cdot 6 = 18$

　 $n = 3$ を代入すると

$a_{4} = 3 a_{3} = 3 \cdot 18 = 54$

　数列 ${a_{n}}$ を並べてみると

$2 ， 6 ， 18 ， 54 ， \dots \dots$

　数列 ${a_{n}}$ は初項 $2$ ，公比 $3$ の等差数列であることがわかる

　 $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ が表しているのは

前の項に $3$ をかけると次の項が求まる

　ということ

　以上より，数列 ${a_{n}}$ の漸化式が $a_{n + 1} = r a_{n}$ で表されるとき

数列 ${a_{n}}$ は公比 $r$ の等差数列である

②　

a_{n + 1} = r a_{n}

　数列

{a_{n}}

は公比

r

の等比数列である

初項 $a$ ，公比 $d$ の等比数列 ${a_{n}}$ の一般項は覚えてる？

$a_{n} = a r^{n - 1}$ だったよね！

等比数列の一般項についてはこれ↓

等比数列の一般項

数列の超基本！等比数列の一般項の考え方を学ぼう！

　次の条件によって定められる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

　(1)　 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 4 a_{n}$

　(2)　 $a_{1} = 5$ ， $a_{n + 1} = - 3 a_{n}$

　(1)　 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 4 a_{n}$

　　数列 ${a_{n}}$ は初項 $1$ ，公比 $4$ の等差数列であるので

$a_{n} = 1 \cdot 4^{n - 1} = 4^{n - 1}$

　(2)　 $a_{1} = 5$ ， $a_{n + 1} = - 3 a_{n}$

　　数列 ${a_{n}}$ は初項 $5$ ，公比 $- 3$ の等差数列であるので

$a_{n} = 5 (- 3)^{n - 1}$

まとめ

● 漸化式とは

　数列において前の項から次の項を求めるための関係式

● 漸化式の基本パターン

　①　 $a_{n + 1} = a_{n} + d$ 　公差 $d$ の等差数列

　②　 $a_{n + 1} = r a_{n}$ 　　公比 $r$ の等比数列

　③　 $a_{n + 1} = a_{n} + (n の式)$

　④　 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$

まずは，等差数列と等比数列の漸化式をマスターしよう！

漸化式とは

漸化式の基本パターン

① an+1=an+d

② an+1=ran

まとめ

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① $a_{n + 1} = a_{n} + d$

② $a_{n + 1} = r a_{n}$