複素数とはなにかをわかりやすく解説！

高校数学Ⅱで習う『複素数』について解説しました！

「数」は数学の基本！

数学に登場する『○○数』をきちんとおさえることは非常に重要です！

この投稿を読んで、『複素数』について理解しましょう！

実数
虚数
複素数
純虚数
まとめ
問題

実数

実数の復習はこれ↓

実数

実数とは何か？聞かれたら困る人は必見！実数，有理数，無理数，… 数学には○○数というものが多く登場します。中学生・高校生のために，『実数』『有理数』『無理数』を分かりやすく教えます！これを読んだら，『実数』『有理数』『無理数』なんて簡単！

実数（Real number）

現実世界に存在する数（数直線上にとれる数）

実数以外の数について学んで，数の世界を広げよう！

虚数

問題

$2$ 次方程式 $x^2=-1$ を解け。

この問題解ける？

$2$ 乗して $-1$ になる数って何だろう？

この問題は実数の範囲では解くことができないんだ！
新しい数『虚数』について学ぼう！

虚数とは

虚数（Imaginary number）

直訳すると，「想像上の数」

実数が「現実世界に存在する数」

虚数が「想像上の数」

実数と虚数は対極の数だね！

虚数単位

$2$ 乗すると $-1$ になる数を $i$ とする

　$i^2=-1$（$i$ を虚数単位という）

とくに，$i=\sqrt{-1}$ とする

$2$ 乗して $-1$ になる数は実数（現実世界に存在する数）ではない！

虚数（想像上の数）はこの $i$ を用いて表すよ！

問題

$2$ 次方程式 $x^2=-1$ を解け。

解答

$i^2=-1$，$(-i)^2=i^2=-1$ より
$2$ 次方程式 $x^2=-1$ を解くと，　$x=±i$

$i$ を用いると，この $2$ 次方程式も解けるね！

虚数の例

$2i$，　$1+i$，　$2-3i$，　$\displaystyle{\frac{1-i}{2}}$　など

$i$ を用いた数はすべて虚数だよ！

複素数

２つの実数 $a$，$b$ を用いて $a+bi$ の形に表される数

$a$$+$$b$$i$

$a$ を実部，$b$ を虚部という

虚数と複素数の違いがよくわからない！

下の図で理解しよう！

実数と虚数は対極の数！

実数と虚数を合わせて複素数だね！

純虚数

虚数のうち，$a=0$（実部が $0$）である虚数

　$i$，　$\sqrt{2}i$，　$-5i$　など

まとめ

● 虚数単位

　$i^2=-1$ を満たす $i$ を虚数単位という

　とくに，$i=\sqrt{-1}$

● 虚数（Imaginary number）

　想像上の数，虚数単位 $i$ を用いる数

● 複素数

● 純虚数

　$a=0$（実部が $0$）である虚数

問題

次の複素数の実部と虚部を答えよ。
(1)　$3-2i$
(2)　$2$
(3)　$-i$
(4)　$\displaystyle{\frac{1-2i}{2}}$

解答

(1)　$3-2i$
　実部　$3$　　虚部　$-2$

(2)　$2$
　実部　$2$　　虚部　$0$
　虚部が $0$ なので $2$ は実数　

(3)　$-i$

　実部　$0$　　虚部　$-1$
　実部が $0$ なので $2$ は純虚数　

(4)　$\displaystyle{\frac{1-2i}{2}}$

　$\displaystyle{\frac{1-2i}{2}=\frac{1}{2}-i}$
　実部　$\displaystyle{\frac{1}{2}}$　　虚部　$-1$

複素数が何かをきちんと理解しておこう！