２次不等式の解が「すべての実数」や「解はない」となる問題
あなたも苦手ではないでしょうか？
２次不等式は『２次関数を用いて解く』という鉄則を理解しておけば，
どんな２次不等式でも必ず解くことができる！
２次関数がｘ軸と接する場合の２次不等式について考えてみましょう！
２次不等式の基本を復習しよう！
２次不等式は「２次関数を使って解く」ことがポイントだよ！
２次関数が接する場合の２次不等式
２次関数 $y=x^2-2x+1$ とおく
$y=0$ を代入すると
$x^2-2x+1=0$
$(x-1)^2=0$
$x=1$
２次関数 $y=x^2-2x+1$ は $x$ 軸と接する
２次不等式 $x^2-2x+1<0$ を解くには
$y<0$ すなわち $x$ 軸より下側（ $x$ 軸上を含まない）
に２次関数がある $x$ の範囲を求める
$y<0$ を満たす $x$ の範囲を求めると
解はない
２次関数は $x$ 軸より下側にはないから「解はない」になるよ！
２次関数 $y=x^2-2x+1$ とおく
２次不等式 $x^2-2x+1≦0$ を解くには
$y≦0$ すなわち $x$ 軸より下側（ $x$ 軸上も含む）
に２次関数がある $x$ の範囲を求める
$y≦0$ を満たす $x$ の範囲を求めると
$x=1$
$x$ 軸上にある $x=1$ だけが解になるよ！
２次関数 $y=x^2-2x+1$ とおく
２次不等式 $x^2-2x+1>0$ を解くには
$y>0$ すなわち $x$ 軸より上側（ $x$ 軸上を含まない）
に２次関数がある $x$ の範囲を求める
$y>0$ を満たす $x$ の範囲を求めると
$x=1$ 以外のすべての実数
$x=1$ は $x$ 軸上にあるから「 $x=1$ 以外」になるよ！
２次関数 $y=x^2-2x+1$ とおく
２次不等式 $x^2-2x+1≧0$ を解くには
$y≧0$ すなわち $x$ 軸より上側（ $x$ 軸上も含む）
に２次関数がある $x$ の範囲を求める
$y≧0$ を満たす $x$ の範囲を求めると
すべての実数
図を描いて、$x$ 軸より上か下か、$x$ 軸上を含むか含まないかを考えれば、解を求めることができるよ！
まとめ
$y=(x-a)^2$ は $x=a$ で $x$ 軸と接する
●$(x-a)^2<0$
$x$ 軸より下側（ $x$ 軸上を含まない）なので
「解はない」
●$(x-a)^2≦0$
$x$ 軸より下側（ $x$ 軸上も含む）なので
「$x=a$」
●$(x-a)^2>0$
$x$ 軸より上側（ $x$ 軸上を含まない）なので
「 $x=a$ 以外のすべての実数」
●$(x-a)^2≧0$
$x$ 軸より上側（ $x$ 軸上も含む）なので
「すべての実数」
問題
問題 次の２次不等式を解け。
(1) $x^2-4x+4<0$
(2) $x^2-4x+4≦0$
(3) $x^2-4x+4>0$
(4) $x^2-4x+4≧0$
解答
(1) $x^2-4x+4<0$
２次関数 $y=x^2-4x+4$ とおく
$y=0$ を代入すると
$x^2-4x+4=0$
$(x-2)^2=0$
$x=2$
２次関数 $y=x^2-4x+4$ は $x$ 軸と接する
２次不等式 $x^2-4x+4<0$ を解くには
$y<0$ すなわち $x$ 軸より下側（ $x$ 軸上を含まない）
に２次関数がある $x$ の範囲を求める
$y<0$ を満たす $x$ の範囲を求めると
解はない
(2) $x^2-4x+4≦0$
２次関数 $y=x^2-4x+4$ とおく
２次不等式 $x^2-4x+4≦0$ を解くには
$y≦0$ すなわち $x$ 軸より下側（ $x$ 軸上も含む）
に２次関数がある $x$ の範囲を求める
$y≦0$ を満たす $x$ の範囲を求めると
$x=2$
(3) $x^2-4x+4>0$
２次関数 $y=x^2-4x+4$ とおく
２次不等式 $x^2-4x+4>0$ を解くには
$y>0$ すなわち $x$ 軸より上側（ $x$ 軸上を含まない）
に２次関数がある $x$ の範囲を求める
$y>0$ を満たす $x$ の範囲を求めると
$x=2$ 以外のすべての実数
(4) $x^2-4x+4≧0$
２次関数 $y=x^2-4x+4$ とおく
２次不等式 $x^2-4x+4≧0$ を解くには
$y≧0$ すなわち $x$ 軸より上側（ $x$ 軸上も含む）
に２次関数がある $x$ の範囲を求める
$y≧0$ を満たす $x$ の範囲を求めると
すべての実数
２次関数と $x$ 軸の位置関係を表した図を描くことが大切だね！
🔰平方完成｜x²の係数が1以外の場合
🔰定義域における最大・最小
🔰基本形と一般形の利用
🔰２次方程式の実数解の個数と判別式
🔰２次関数のグラフとｘ軸の位置関係
🔰２次不等式｜解の公式
🔰２次不等式｜交わらない
🔰２次不等式｜ｘ²の係数が負
🔵絶対不等式
🔰基本…まずはこの記事から！
🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要！
🔴応用…場合分けなど思考力が要求される！
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