有理化など√の計算でよく出る問題を解説！

√（ルート）の計算はミスが多い！

計算ミスをなくすためには，

どういう計算ミスがあるかを知る

計算ミスをしやすい問題を解いて練習する

ことが大切！

有理化など，よく出題される √（ルート）の計算のパターンを知って，しっかり対策しよう！

$\sqrt{　}$ の計算をよく間違えてしまうよー！

たしかに計算ミスしやすいところだね！

間違えやすい問題を復習しておこう！

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を用いた $\sqrt{　}$ の計算
分母の有理化
まとめ
問題
解答

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を用いた $\sqrt{　}$ の計算

$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ はどうやったら計算できる？

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を使ったら解けそう！

そうだね！

$(\sqrt{2}+1+\sqrt{3})(\sqrt{2}+1-\sqrt{3})$ はどうやって解く？

んー…。すぐには思いつかない…

諦めて地道に計算するかな…

地道に計算しても答えは求まるけど，

計算ミスしやすいから気を付けよう！

$(\sqrt{2}+1+\sqrt{3})(\sqrt{2}+1-\sqrt{3})$ の

$\sqrt{2}+1$ を $A$、$\sqrt{3}$ を $B$ とすると，

$(A+B)(A-B)$ と表せるから $A^2-B^2$ になって，

$(\sqrt{2}+1)^2-(\sqrt{3})^2$で計算できるよ！

ちょっとした工夫をすることが大事だね！

　例題１　$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ を計算をせよ。

\begin{eqnarray} (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) &=& (\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 \\\\ &=& 3-2 \\\\ &=& 1 \end{eqnarray}

　例題２　$(\sqrt{2}+1+\sqrt{3})(\sqrt{2}+1-\sqrt{3})$ を計算せよ。

\begin{eqnarray} (\sqrt{2}+1+\sqrt{3})(\sqrt{2}+1-\sqrt{3}) &=& (\sqrt{2}+1)^2-(\sqrt{3})^2 \\\\ &=& (2+2\sqrt{2}+1)-3 \\\\ &=& 2\sqrt{2} \end{eqnarray}

＜補足＞上の計算がわかりにくかったら，以下ように考えよう

　$\sqrt{2}+1$ を $A$ とすると，

\begin{eqnarray} (\sqrt{2}+1+\sqrt{3})(\sqrt{2}+1-\sqrt{3}) &=& (A+\sqrt{3})(A-\sqrt{3}) \\\\ &=& A^2-(\sqrt{3})^2 \\\\ &=& (\sqrt{2}+1)^2-(\sqrt{3})^2 \\\\ &=& (2+2\sqrt{2}+1)-3 \\\\ &=& 2\sqrt{2} \end{eqnarray}

同じ形を見つけたら，置き換えてみるとわかりやすいね！

分母の有理化

分母の有理化って覚えてる？

たしか，分母に $\sqrt{　}$ がない形にすることだったかな？

そうだね！

分母に無理数の $\sqrt{　}$ がない有理数の形にすることだから有理化というよ！

じゃあ、$\frac{1}{\sqrt{2}}$ の有理化はどうやったらできる？

これはできる！

分母分子に $\sqrt{2}$ をかければいい！

正解！

じゃあ，$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ の有理化はどうやったらできる？

これも覚えてる！

分母分子に $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ をかければいい！

正解！

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$

$=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2$

$=a-b$

$a-b$ は有理数になるから，

この性質を用いることで分母の√がなくなるよ！

　例題３　$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ を有理化せよ。

　分母分子に $\sqrt{2}$ をかけて

\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}} &=& \frac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} \\\\ &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}

　例題４　$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$ を有理化せよ。

　分母分子に $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ をかけて

\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}- \sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} \\\\ &=& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} \\\\ &=& \sqrt{3}+\sqrt{2} \end{eqnarray}

まとめ

$\sqrt{　}$ の計算には以下のような問題がある

　● $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を使う

　● 有理化…分母に $\sqrt{　}$ がない形にする

　　$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-sqrt{b})=a-b$ は有理数になる

　　という性質を用いて有理化する

問題

　問題１　次の式を計算せよ。

　(1)　$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$

　(2)　$(\sqrt{3}+2+\sqrt{7})(\sqrt{3}+2-\sqrt{7})$

　問題２　次の式を有理化せよ。

　(1)　$\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{2}}}$

　(2)　$\displaystyle{\frac{1}{2+\sqrt{3}}}$

　(3)　$\displaystyle{\frac{2}{3-\sqrt{5}}}$

解答

　問題１　次の式を計算せよ。

　(1)　$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$

　(2)　$(\sqrt{3}+2+\sqrt{7})(\sqrt{3}+2-\sqrt{7})$

(1)

\begin{eqnarray} (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) &=& (2)^2-(\sqrt{3})^2 \\\\ &=& 4-3 \\\\ &=& 1 \end{eqnarray}

(2)

\begin{eqnarray} (\sqrt{3}+2+\sqrt{7})(\sqrt{3}+2-\sqrt{7}) &=& (\sqrt{3}+2)^2-(\sqrt{7})^2 \\\\ &=& (3+4\sqrt{3}+4)-7 \\\\ &=& 4\sqrt{3} \end{eqnarray}

　問題２　次の式を有理化せよ。

　(1)　$\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{2}}}$

　(2)　$\displaystyle{\frac{1}{2+\sqrt{3}}}$

　(3)　$\displaystyle{\frac{2}{3-\sqrt{5}}}$

(1)

　分母分子に $\sqrt{2}$ をかけて

\begin{eqnarray} \frac{1}{2\sqrt{2}} &=& \frac{1\times\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\times\sqrt{2}} \\\\ &=& \frac{\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray}

(2)

　分母分子に $(2-\sqrt{3})$ をかけて

\begin{eqnarray} \frac{1}{2-\sqrt{3}} &=& \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})\times(2+\sqrt{3})} \\\\ &=& \frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2} \\\\ &=& 2+\sqrt{3} \end{eqnarray}

(3)

　分母分子に $(3+\sqrt{5})$ をかけて

\begin{eqnarray} \frac{2}{3-\sqrt{5}} &=& \frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} \\\\ &=& \frac{2(3+\sqrt{5})}{3^2-(\sqrt{5})^2} \\\\ &=& \frac{2(3+\sqrt{5})}{4} \\\\ &=& \frac{3+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray}