グラフの平行移動・対称移動

２次関数のグラフの平行移動と対称移動の方法を知っていますか？
苦戦してしまう高校生が多い問題の１つです！
平行移動と対称移動のポイントは，ずばり『頂点』と『グラフの形』！
平方完成さえできれば，簡単に解けるようになります！
それに加えて，『平方完成する必要がない解法』もあります！
２次関数のみならず，３次関数などその他の関数にも応用できます！
他の受験生と差をつけたい高校生にオススメの投稿です！
この投稿であなたも『２次関数のグラフの平行移動・対称移動』をマスターできます！

２次関数の平方完成と頂点

２次関数 $y=a{x}^2+bx+c$ を $y=a(x-p{)}^2+q$ に変形することを『平方完成』という。

平方完成して，$y=a(x-p{)}^2+q$ の形に変形することで，軸が直線 $x=p$，頂点が $(p，q)$ であることがわかる。

平方完成の復習はこれ↓

平方完成｜基本

２次関数でよく出題される計算といったら『平方完成』 『平方完成』は２次関数の『軸』と『頂点』を求める大切な計算！ ２次関数の大問の最初にする計算なので，間違えないことが必要不可欠！ 『平方完成』が苦手な人必見！ これを見れば，『平方完成』の基本はばっちり！

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2023.07.26

平行移動

頂点を利用した平行移動の方法

　

　

　①について　$y=2(x-1{)}^2+2$
　よって，①のグラフの頂点は $(1，2)$

(1)

　　①のグラフの頂点 $(1，2)$ を
　　$x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動すると　$(3，1)$
　　求めるグラフは，①のグラフを平行移動したものであるから
　　$x^2$ の係数は $2$ である

　　よって，求める方程式は　$y=2(x-3{)}^2+1$

(2)

　　①のグラフの頂点 $(1，2)$ を
　　$x$ 軸方向に $-2$，$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものであるから
　　頂点は $(-1，3)$，$x^2$ の係数は $2$ である

　　よって，求める方程式は　$y=2(x+1{)}^2+3$

式変形のみで平行移動する方法

　

　

　

(1)　$y-(-1)=2(x-2{)}^2-4(x-2)+4$　← $x$ を $x-2$，$y$ を $y-(-1)$

　　 これを計算して　$y=2x^2-8x+19$

(2)　求めるグラフは①のグラフを
　 　$x$ 軸方向に $-2$，$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものであるから

　　 $y-1=2(x+2{)}^2-4(x+2)+4$　← $x$ を $x+2$，$y$ を $y-1$

　　 これを計算して　$y=2x^2+4x+5$

対称移動

頂点を利用した対称移動の方法

$x$ 軸，$y$ 軸，原点に関する対称移動は，下図のように考えられる。

　

$y$ 軸に関する対称移動
１．頂点の $x$ 座標の符号が変わる
２．下に凸なら下に凸のまま，上に凸なら上に凸のまま

$x$ 軸に関する対称移動
１．頂点の $y$ 座標の符号が変わる
２．下に凸なら上に凸に，上に凸なら下に凸になる

原点に関する対称移動
１．頂点の $x$ 座標，$y$ 座標ともに符号が変わる
２．下に凸なら上に凸に，上に凸なら下に凸になる

　

　①について　$y=2(x-1{)}^2+2$
　よって，①のグラフの頂点は $(1，2)$

(1)　①のグラフの頂点を $x$ 軸に関して対称移動すると　$(1，-2)$
　　グラフの形は下に凸から上に凸に変わるので　$y=-2(x-1{)}^2-2$

(2)　①のグラフの頂点を $x$ 軸に関して対称移動すると　$(-1，2)$
　　グラフの形は変わらないので　$y=2(x+1{)}^2+2$

(3)　①のグラフの頂点を原点に関して対称移動すると　$(-1，-2)$
　　グラフの形は下に凸から上に凸に変わるので　$y=-2(x+1{)}^2-2$

式変形のみで対称移動する方法

　

　

　

(1)　$-y=2x^2-4x+4$　← $y$ を $-y$ にする
　　これを計算すると　$y=-2x^2+4x-4$

(2)　$y=2(-x{)}^2-4\cdot (-x)+4$　← $x$ を $-x$ にする
　　これを計算すると　$y=2x^2+4x+4$

(2)　$-y=2(-x{)}^2-4\cdot (-x)+4$　← $x$ を $-x$，$y$ を $-y$ にする
　　これを計算すると　$y=-2x^2-4x-4$

まとめ

●頂点を利用した平行移動のポイント
　１．問題文から移動前と移動後を整理する
　２．頂点の移動を考える
　３．$x^2$ の係数（$a$ の値）は変わらない

●式変形のみで平行移動する方法
　$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したいときは，$x$ に $x-p$，$y$ に $y-q$ を代入する

●頂点を利用した対称移動のポイント
　１．頂点を対称移動する
　２．$x^2$ の係数（$a$ の値）について
　　　$y$ 軸に関する対称移動は符号が変わらない
　　　$x$ 軸，原点に関する対称移動は符号が変わる

●式変形のみで対称移動する方法
　$x$ 軸に関して対称移動したいときは　$y$ を $-y$ にする
　$y$ 軸に関して対称移動したいときは　$x$ を $-x$ にする
　原点に関して対称移動したいときは　$x$ を $-x$，$y$ を $-y$ にする