ベクトルの内積の意味

ベクトルの内積

なす角は「始点を合わせたときの角度」のこと

＜注意＞　

　$\vec{a}\cdot\vec{b}$　と　 $\vec{a}×\vec{b}$　は同じではない

　$\vec{a}×\vec{b}$　はベクトルの外積という（大学で習う）

　

内積の数学的意味

$\triangle OAB$ において，$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$， $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とする

余弦定理を用いると，

$BA^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos\theta$

$\overrightarrow{BA}=\vec{a}-\vec{b}$ より（ベクトルの減法）

$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

$|\vec{a}-\vec{b}|^2$ の計算をする際に，

$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

が式に必ず含まれる

数学の問題では $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ などの計算をすることが多いので

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

とすると

$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}$

という形になり

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

の展開公式と似たような形になり，計算を考えやすくなる

内積の物理的意味

仕事 $W$ $[J]$ は　$F\cdot x$ である

これをベクトルで表現すると

$W=|\vec{F}||\vec{x}|$

力の向きと移動する向きが異なっている場合は

向きをそろえるために，$\vec{F}$ の水平方向の成分をつくる

$\vec{F}$ の水平方向の成分は $\vec{F}\cos\theta$

よって， $\vec{F}$ の水平方向の成分の大きさは $|\vec{F}|\cos\theta$

したがって，仕事 $W$ $[J]$ は

$W=|\vec{F}||\vec{x}|\cos\theta$

$|\vec{F}||\vec{x}|\cos\theta$ は内積 $\vec{F}\cdot\vec{x}$ なので

$W=\vec{F}\cdot\vec{x}$

まとめ

● ベクトルの内積

　$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$