三角形の内角の二等分線と比

「内角の二等分線」というキーワードがあったら，この定理が使えるようにしよう！

三角形と内角の二等分線と比についての定理

三角形の内角の二等分線と比についての定理

$\triangle ABC$ の $\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると
　$AB:AC=BD:DC$　が成り立つ

$AB$$:$$AC$$=$$BD$$:$$DC$

点 $D$ は辺 $BC$ を $AB:AC$ に内分する点になるよ！

$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると

$\angle BAD=\angle DAC$　$\cdots$　①

頂点 $C$ を通り，直線 $AD$ に平行な直線を引き，

辺 $AB$ の $A$ を越える延長との交点を $E$ とすると

$AD/\!/BC$ より

$\angle BAD=\angle AEC$　(同位角)　$\cdots$　②

$\angle DAC=\angle ACE$　(錯覚)　$\cdots$　③

①，②，③より，$\triangle ACE$ において

$\angle ACE=\angle AEC$　が成り立つので　$AC=AE$

$AD/\!/BC$ より

$AB$$:$$AE$$=$$BD$$:$$DC$

$AC=AE$ より　$AB$$:$$AC$$=$$BD$$:$$DC$

$AB=6$，$AC=4$，$BC=8$ である $\triangle ABC$ において，$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき，$BD$ の長さを求めよ。

$AD$ は $\angle A$ の二等分線だから

$BD:DC=AB:AC=6:4=3:2$

$BD$ の長さは　$\displaystyle{BD=\frac{3}{5}\times8=\frac{24}{5}}$

「内角の二等分線」があったらこの定理を使う可能性が高い！

解けるようにしておこう！