三角関数の値（sinとcos）

数学Ⅰの三角比の定義

鋭角の三角比

直角三角形の鋭角（90${}^{\circ }$ 未満の角）の１つを $\theta$ とし，斜辺の長さを $r$ ，その他の辺の長さを下図のように $x$，$y$ とするとき，三角比の定義は以下のようになる。

● $\sin \theta$ の覚え方

　$s$ の筆記体で ${\displaystyle \sin \theta =\frac{y}{r}}$

● $\cos \theta$ の覚え方

　$c$ と書いて ${\displaystyle \cos \theta =\frac{x}{r}}$

● $\tan \theta$ の覚え方

　$t$ の筆記体で ${\displaystyle \tan \theta =\frac{y}{x}}$

鈍角の三角比

座標平面上において原点を中心とする半径 $r$ の半円をかき，この半円と $x$ 軸の正の部分との交点を $A$ とする。

$\angle AOP=\theta$ となる点 $P$ をこの半円上にとり，点 $P$ の座標を $(x，y)$ としたとき，

数学Ⅰ「三角比の値」の復習はこれ↓

三角比の拡張

鈍角の三角比の考え方きちんと理解していますか？ 鋭角の三角比は直角三角形で考えていましたが，鈍角の三角比は座標で考えるので少し難しく感じます！ ですが，基本をきちんとおさえることで必ず理解できます！ 単位円を使った鈍角の三角比の考え方をわかりやすく解説します！

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2023.08.09

三角関数の定義

座標平面上において原点を中心とする半径 $r$ の円をかき，

下図のように点 $P(x，y)$ ，角 $\theta$ をとる

単位円を用いた三角関数の定義

$$\sin \theta =\frac{y}{r}，\cos \theta =\frac{x}{r}$$

$$\Downarrow r=1\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}$$

$$\sin \theta =y，\cos \theta =x$$

$\theta =\frac{\pi }{6}，\frac{\pi }{4}，\frac{\pi }{3}$ の sin と cos

用いる直角三角形

${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$，${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$，${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ の直角三角形の斜辺の長さを $1$ にする

$\theta =\frac{\pi }{6}$

$${\displaystyle \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}，\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$\theta =\frac{\pi }{4}$

$${\displaystyle \sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}，\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$$

$\theta =\frac{\pi }{3}$

$${\displaystyle \sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}，\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}}$$

単位円周上の座標

${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{6}，\frac{\pi }{4}，\frac{\pi }{3}}$ のときの円周上の点から，

$x$ 軸，$y$ 軸に関して対称な点をとると以下のような図になる

$\sin \theta$，$\cos \theta$ の値

　

$\theta$	$0$	${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$	${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$	${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$	${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$	${\displaystyle \frac{2}{3}\pi }$	${\displaystyle \frac{3}{4}\pi }$	${\displaystyle \frac{5}{6}\pi }$	$\pi$
$\sin \theta$	$0$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	$1$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	$0$
$\cos \theta$	$1$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	$0$	${\displaystyle -\frac{1}{2}}$	${\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$-1$

$\theta$	$\pi$	${\displaystyle \frac{7}{6}\pi }$	${\displaystyle \frac{5}{4}\pi }$	${\displaystyle \frac{4}{3}\pi }$	${\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$	${\displaystyle \frac{5}{3}\pi }$	${\displaystyle \frac{7}{4}\pi }$	${\displaystyle \frac{11}{6}\pi }$	$2\pi$
$\sin \theta$	$0$	${\displaystyle -\frac{1}{2}}$	${\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$-1$	${\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle -\frac{1}{2}}$	$0$
$\cos \theta$	$-1$	${\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle -\frac{1}{2}}$	$0$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	$1$

　

• ${\displaystyle \theta =\frac{○}{4}\pi }$ のときは　$\displaystyle{±\frac{1}{\sqrt{2}}$
• ${\displaystyle \theta =\frac{○}{6}\pi ，\frac{○}{3}\pi }$ のときは　${\displaystyle \pm \frac{1}{2}}$　と　${\displaystyle \pm \frac{\sqrt{3}}{2}}$　の組合せ

$\sin \theta$，$\cos \theta$ の符号

まとめ

● 三角関数の定義

　$${\displaystyle \sin \theta =\frac{y}{r}，\cos \theta =\frac{x}{r}，\tan \theta =\frac{y}{x}}$$

● 単位円を用いた sin と cos の定義

　$r=1$ にすると　 $\sin \theta =y，\cos \theta =x$

　 $\sin \theta$ は単位円上の点の $y$ 座標，$\cos \theta$ は単位円上の点の $x$ 座標

● 単位円上の座標

　● sin と cos の符号