三角関数の値（sinとcos）

数学Ⅰの三角比の定義

鋭角の三角比

直角三角形の鋭角（90$^\circ$ 未満の角）の１つを $\theta$ とし，斜辺の長さを $r$ ，その他の辺の長さを下図のように $x$，$y$ とするとき，三角比の定義は以下のようになる。

● $\sin\theta$ の覚え方

　$s$ の筆記体で $\displaystyle{\sin\theta=\frac{y}{r}}$

● $\cos\theta$ の覚え方

　$c$ と書いて $\displaystyle{\cos\theta=\frac{x}{r}}$

● $\tan\theta$ の覚え方

　$t$ の筆記体で $\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$

鈍角の三角比

座標平面上において原点を中心とする半径 $r$ の半円をかき，この半円と $x$ 軸の正の部分との交点を $A$ とする。

$∠AOP=\theta$ となる点 $P$ をこの半円上にとり，点 $P$ の座標を $(x，y)$ としたとき，

数学Ⅰ「三角比の値」の復習はこれ↓

三角比の拡張

鈍角の三角比の考え方きちんと理解していますか？ 鋭角の三角比は直角三角形で考えていましたが，鈍角の三角比は座標で考えるので少し難しく感じます！ ですが，基本をきちんとおさえることで必ず理解できます！ 単位円を使った鈍角の三角比の考え方をわかりやすく解説します！

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2023.08.09

三角関数の定義

座標平面上において原点を中心とする半径 $r$ の円をかき，

下図のように点 $P(x，y)$ ，角 $\theta$ をとる

単位円を用いた三角関数の定義

$$\sin\theta=\frac{y}{r}，\cos\theta=\frac{x}{r}$$

$$　　　　　　\Downarrow 　　r=1とする$$

$$\sin\theta=y，\cos\theta=x$$

$\theta=\frac{\pi}{6}，\frac{\pi}{4}，\frac{\pi}{3}$ の sin と cos

用いる直角三角形

$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$，$\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$，$\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ の直角三角形の斜辺の長さを $1$ にする

$\theta=\frac{\pi}{6}$

$$\displaystyle{\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}，\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$\theta=\frac{\pi}{4}$

$$\displaystyle{\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}，\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$$

$\theta=\frac{\pi}{3}$

$$\displaystyle{\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}，\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}}$$

単位円周上の座標

$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{6}，\frac{\pi}{4}，\frac{\pi}{3}}$ のときの円周上の点から，

$x$ 軸，$y$ 軸に関して対称な点をとると以下のような図になる

$\sin\theta$，$\cos\theta$ の値

　

$\theta$	$0$	$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$	$\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$	$\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$	$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$	$\displaystyle{\frac{2}{3}\pi}$	$\displaystyle{\frac{3}{4}\pi}$	$\displaystyle{\frac{5}{6}\pi}$	$\pi$
$\sin\theta$	$0$	$\displaystyle{\frac{1}{2}}$	$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$1$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$	$\displaystyle{\frac{1}{2}}$	$0$
$\cos\theta$	$1$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$	$\displaystyle{\frac{1}{2}}$	$0$	$\displaystyle{-\frac{1}{2}}$	$\displaystyle{-\frac{1}{\sqrt{2}}}$	$\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$-1$

$\theta$	$\pi$	$\displaystyle{\frac{7}{6}\pi}$	$\displaystyle{\frac{5}{4}\pi}$	$\displaystyle{\frac{4}{3}\pi}$	$\displaystyle{\frac{3}{2}\pi}$	$\displaystyle{\frac{5}{3}\pi}$	$\displaystyle{\frac{7}{4}\pi}$	$\displaystyle{\frac{11}{6}\pi}$	$2\pi$
$\sin\theta$	$0$	$\displaystyle{-\frac{1}{2}}$	$\displaystyle{-\frac{1}{\sqrt{2}}}$	$\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$-1$	$\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$\displaystyle{-\frac{1}{\sqrt{2}}}$	$\displaystyle{-\frac{1}{2}}$	$0$
$\cos\theta$	$-1$	$\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$\displaystyle{-\frac{1}{\sqrt{2}}}$	$\displaystyle{-\frac{1}{2}}$	$0$	$\displaystyle{\frac{1}{2}}$	$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$1$

　

• $\displaystyle{\theta=\frac{○}{4}\pi}$ のときは　$\displaystyle{±\frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\displaystyle{\theta=\frac{○}{6}\pi，\frac{○}{3}\pi}$ のときは　$\displaystyle{±\frac{1}{2}}$　と　$\displaystyle{±\frac{\sqrt{3}}{2}}$　の組合せ

$\sin\theta$，$\cos\theta$ の符号

まとめ

● 三角関数の定義

　$$\displaystyle{\sin\theta=\frac{y}{r}，\cos\theta=\frac{x}{r}，\tan\theta=\frac{y}{x}}$$

● 単位円を用いた sin と cos の定義

　$r=1$ にすると　 $\sin\theta=y，\cos\theta=x$

　 $\sin\theta$ は単位円上の点の $y$ 座標，$\cos\theta$ は単位円上の点の $x$ 座標

● 単位円上の座標

　● sin と cos の符号