位置ベクトル

 

位置ベクトルとは

点 $A$ の位置ベクトルが $\overrightarrow{a}$ であることを

$A(\overrightarrow{a})$

と表す

　

　

座標の考え方

点 $A$ の座標が $(1，2)$ であることを

$A(1，2)$

と表す

座標というものは $x$ 軸と $y$ 軸が交わる原点 $O$ を基準として点が取られている

$A(1，2)$ は原点から $x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $1$ だけ移動した点

原点を基準に座標をとって位置を考えていることがわかる

　

位置ベクトルの考え方

点 $A$ の位置ベクトルが $\overrightarrow{a}$ であることを

$A(\overrightarrow{a})$

と表す

点 $A(\overrightarrow{a})$ も基準となる点 $O$ （どこにとってもよい）をつくることで，点 $A$ の位置がベクトルという形で可視化できる

　

このとき，$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ と考える

　

ここに $B(\overrightarrow{b})$ という点が加わると

このとき，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ と考える

位置ベクトルは，

基準となる点をとって，基準となる点からその位置に向かうベクトルによって位置を考える

　

 

位置ベクトルの利用

２点を結ぶベクトル

２点 $A(\overrightarrow{a})$，$B(\overrightarrow{b})$ について，$O$ を基準として考えると

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$， $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$

ベクトルの減法を用いると

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

すなわち

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

　

内分点と外分点の位置ベクトル

詳しくはこれ↓

内分点・外分点の座標

高校数学Ⅱで学ぶ『内分点・外分点の座標』について解説しました！ 忘れやすい公式の１つである『内分点・外分点の公式』を覚えやすく説明しています！ ポイントは、「内分は足してクロス」「外分は引いてクロス」 この投稿を見れば、『内分点・外分点の座標』はバッチリ！

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2023.08.22

● 内分点におけるベクトル

${\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}}$

● 外分点におけるベクトル

${\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{-n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m-n}}$

　

　

重心の位置ベクトル

中線 … 三角形の頂点とそれに向かい合う辺の中点を結ぶ線分

三角形について，中線を引くと

中線は１点で交わり，この交点を「重心」という

重心は各中線を $2：1$ に内分する

　

＜証明＞

$\mathrm{△}ABC$ において，辺 $BC$ の中点（$1:1$ に内分する点）を $M(\overrightarrow{m})$ とすると

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{m}& =& \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{1+1}\\ \\ & =& \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}\end{array}$$

線分 $AM$ を $2:1$ に内分する点が $G(\overrightarrow{g})$ なので

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{g}& =& \frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{m}}{2+1}\\ \\ & =& \frac{\overrightarrow{a}+2\cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}}{3}\\ \\ & =& \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\end{array}$$

　

まとめ

● 位置ベクトル

　

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$

● ２点を結ぶベクトル

　２点 $A(\overrightarrow{a})$，$B(\overrightarrow{b})$ について

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

● 内分点と外分点の位置ベクトル

　$A(\overrightarrow{a})$，$B(\overrightarrow{b})$ を結ぶ線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点の位置ベクトルを $\overrightarrow{p}$，$m:n$ に外分する点の位置ベクトルを $\overrightarrow{q}$ とすると

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}}$

${\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}}$

● 重心の位置ベクトル

　$A(\overrightarrow{a})$，$B(\overrightarrow{b})$，$C(\overrightarrow{c})$ を頂点とする $\mathrm{△}ABC$ の重心 $G$ の位置ベクトル $\overrightarrow{g}$ は

${\displaystyle \overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}$