倍数の判定方法

倍数の判定方法

$N=10k+a$ で証明できる判定方法

2 の倍数の判定方法

自然数 $N$ は，一の位を $a$ とすると，

$0$ 以上の整数 $k$ を用いて

$N=10k+a$ と表すことができる

（例えば，$123=10・12+3$）

$10k=2・5k$ と表せるので，$10k$ は $2$ の倍数である

よって　$N$ が $2$ の倍数であるのは，$a$ が $2$ の倍数のとき

すなわち　一の位が $2$ の倍数のとき

5 の倍数の判定方法

自然数 $N$ は，一の位を $a$ とすると，

$0$ 以上の整数 $k$ を用いて

$N=10k+a$ と表すことができる

（例えば，$123=10・12+3$）

$10k=5・2k$ と表せるので，$5$ の倍数である

よって　$N$ が $5$ の倍数であるのは，$a$ が $5$ の倍数のとき

すなわち　一の位が $5$ の倍数のとき

$N=100k+a$ で証明できる判定方法

4 の倍数の判定方法

自然数 $N$ は，下二桁を $a$ とすると，

$0$ 以上の整数 $k$ を用いて

$N=100k+a$ と表すことができる

（例えば，$1234=100・12+34$）

$100k=4・25k$ と表せるので，$100k$ は $4$ の倍数である

よって　$N$ が $4$ の倍数であるのは，$a$ が $4$ の倍数のとき

すなわち　一の位が $4$ の倍数のとき

$N=1000k+a$ で証明できる判定方法

8 の倍数の判定方法

自然数 $N$ は，下３桁を $a$ とすると，

$0$ 以上の整数 $k$ を用いて

$N=1000k+a$ と表すことができる

（例えば，$12345=1000・12+345$）

$1000k=8・125k$ と表せるので，$8$ の倍数である

よって　$N$ が $8$ の倍数であるのは，$a$ が $8$ の倍数のとき

すなわち　一の位が $8$ の倍数のとき

$N=100a+10b+c$ で証明できる判定方法

3 の倍数の判定方法

$3$ 桁の自然数 $N$ について，
百の位を $a$，十の位を $b$，一の位を $c$ とすると

$N=100a+10b+c$ と表せる

（例えば，$234=100・2+10・3+4$）

$N=100a+10b+c$

　$=(99a+a)+(9b+b)+c$

　$=(99a+9b)+(a+b+c)$

　$=3(33a+3b)+(a+b+c)$

$3(33a+3b)$ は $3$ の倍数なので

$N$ が $3$ の倍数であるのは，$a+b+c$ が $3$ の倍数のとき

すなわち，各位の和が $3$ の倍数のとき

9 の倍数の判定方法

$3$ 桁の自然数 $N$ について，
百の位を $a$，十の位を $b$，一の位を $c$ とすると

$N=100a+10b+c$ と表せる

（例えば，$234=100・2+10・3+4$）

$N=100a+10b+c$

　$=(99a+a)+(9b+b)+c$

　$=(99a+9b)+(a+b+c)$

　$=9(11a+b)+(a+b+c)$

$9(11a+b)$ は $9$ の倍数なので

$N$ が $9$ の倍数であるのは，$a+b+c$ が $9$ の倍数のとき

すなわち，各位の和が $9$ の倍数のとき

その他

6 の倍数の判定方法

$6=2\times3$ なので

$6$ の倍数は，　$2$ の倍数　かつ　$3$ の倍数　である

まとめ

● 倍数の判定方法

　$2$ の倍数 $\cdots$ 一の位が $0,2,4,6,8$ のいずれか
　$3$ の倍数 $\cdots$ 各位の数の和が $3$ の倍数
　$4$ の倍数 $\cdots$ 下二桁が $4$ の倍数
　$5$ の倍数 $\cdots$ 一の位が $0,5$ のいずれか
　$6$ の倍数 $\cdots$ $2$ の倍数かつ $3$ の倍数
　$8$ の倍数 $\cdots$ 下三桁が $8$ の倍数
　$9$ の倍数 $\cdots$ 各位の数の和が $9$ の倍数

問題

各位の和を考える

$1345$（$1+3+4+5=13$）

$4386$（$4+3+8+6=21$)

$8294$（$8+2+9+4=23$）

$6279$（$6+2+7+9=24$）

$3$ の倍数（各位の数の和が $3$ の倍数）

　$4386$　と　$6279$

$6$ の倍数（$2$ の倍数かつ $3$ の倍数）

　$4386$　

　

$5$ の倍数になるとき，□には $0$ または $5$ が入る

$0$ のとき，$4980$ は $3$ の倍数（$4+9+8+0=21$）

$5$ のとき，$4985$ は $3$ の倍数でない（$4+9+8+5=26$）

よって　□に入るのは $0$