高校数学Ⅱの【三角関数】で学ぶ『加法定理』について解説！
三角関数の中で最も重要な定理といっても過言ではない『加法定理』を理解しよう！
この投稿を見れば，『加法定理』の使い方の基本はバッチリ！
「２倍角の公式」や「半角の公式」や「三角関数の合成」のもとになる「加法定理」について学ぼう！
加法定理
まずは，正弦・余弦の加法定理から！
証明はちょっと難しいので，ここでは省略！
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
$\displaystyle{\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}$
$\displaystyle{\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}}$
正弦の覚え方
$\sin(\alpha$$+$$\beta)=\sin\alpha\cos\beta$$+$$\cos\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha$$-$$\beta)=\sin\alpha\cos\beta$$-$$\cos\alpha\sin\beta$
プラスならプラス，マイナスならマイナス
右辺の覚え方
咲いた ($\sin$) コスモス ($\cos$) コスモス ($\cos$) 咲いた ($\sin$)
幸子 ($\sin$) 小林 ($\cos$) 小林 ($\cos$) 幸子 ($\sin$)
余弦の覚え方
$\cos(\alpha$$+$$\beta)=\cos\alpha\cos\beta$$-$$\sin\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha$$-$$\beta)=\cos\alpha\cos\beta$$+$$\sin\alpha\sin\beta$
プラスならマイナス，マイナスならプラス
右辺の覚え方
コスモス ($\cos$) コスモス ($\cos$) 咲いた ($\sin$) 咲いた ($\sin$)
小林 ($\cos$) 小林 ($\cos$) 幸子 ($\sin$) 幸子 ($\sin$)
正接の覚え方
$\displaystyle{\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}$
$\displaystyle{\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}}$
分子の符号は同じ，分母の符号は異なる
右辺の覚え方
$\tan(\alpha+\beta)$ １ マイ タンタン タン プラ タン
$\tan(\alpha-\beta)$ １ プラ タンタン タン マイ タン
「加法定理」は三角関数の超重要公式なので，確実に覚えておこう！
加法定理の使い方
「加法定理」を用いることで，表すことが難しかった角度の三角関数の値を簡単に求めることができる！
$\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)$
$=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ$
$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{2}}$
$\displaystyle{=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}}$
$\displaystyle{=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}$
$\displaystyle{=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$
もちろん，弧度法でも「加法定理」は使えるよ！
$\displaystyle{\cos\frac{\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)}$
$\displaystyle{=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}}$
$\displaystyle{=\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}}$
$\displaystyle{=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}$
$\displaystyle{=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}$
$\displaystyle{=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$
$\tan15^\circ=\tan(45^\circ-30^\circ)$
$\displaystyle{=\frac{\tan45^\circ- \tan30^\circ}{1+\tan45^\circ \tan30^\circ}}$
$\displaystyle{=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1\times\frac{1}{\sqrt{3}}}}$
$\displaystyle{=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}$
$\displaystyle{=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}}$
$\displaystyle{=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}$
$=2-\sqrt{3}$
$\tan15^\circ$ の途中計算は重要！
問題
(1) $\sin(\alpha+\beta)$ (2) $\cos(\alpha-\beta)$
(1) $\displaystyle{0<\alpha<\frac{\pi}{2}}$ より，$\cos\alpha>0$ であるから
$\displaystyle{\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\frac{3}{5}}$
また，$\displaystyle{\pi<\beta<\frac{3}{2}\pi}$ より，$\sin\beta<0$ であるから
$\displaystyle{\sin\beta=-\sqrt{1-\cos^2\beta}=-\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2}=-\frac{4}{5}}$
よって， $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\displaystyle{=\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}}$
(2) $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
$\displaystyle{=\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=-1}$
まとめ
● 加法定理
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
$\displaystyle{\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}$
$\displaystyle{\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}}$
「加法定理」をきちんと覚えて，使いこなせるようにしよう！
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