![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/7336a811ba3708301ced4fe8d44b43db.jpg)
9個を並べるから $9!$ になるのかな?
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
$9!$ では間違いになるよ!
順列から復習しよう!
順列
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
$n!$ がどういうときに使えるか確認しよう!
$n!$ … 異なる $n$ 個すべてを並べる順列の総数
異なる9個すべてを並べる順列なので $9!$
同じものが含まれているので $9!$ はダメ
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/7336a811ba3708301ced4fe8d44b43db.jpg)
なんで同じものを含むと $9!$ ではダメなんだろう?
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/30a3d2de9a9c51f58f8bcfde32ec8fa5.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/c1ea8023506225802a693c74dd6b4fd4.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
同じものが含まれるか含まれないかで順列の総数が変わるよ!
順列の復習はこれ↓
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/20210518-160x90.jpg)
同じ文字を含む順列の考え方
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
同じ文字を含む順列は組合せ $_nc_r$ を用いたら解けるよ!
$_nC_r$ を使った解き方
①9個の場所を用意する
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/783e7a4f677211da5480cac61a75d47a.png)
②9個の場所から $a$ を置く場所を4個を選ぶ
→同じものの並び方は1通りなので選ぶだけでよい
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/68cf4d0fca512eabb24ef27590f1f934.png)
9個から4個選ぶので $_9C_4$ 通り
③残り5個の場所から $b$ を置く場所を3個選ぶ
→同じものの並び方は1通りなので選ぶだけでよい
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/b4ab75327b858aebb47a030fc0e3ac7e.png)
5個から3個選ぶので $_5C_3$ 通り
④残り2個の場所から $c$ を置く場所を2個選ぶ
→同じものの並び方は1通りなので選ぶだけでよい
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/6819bbd56ea12de6fa15b2df15f9e3a1.png)
2個から2個選ぶので $_2C_2$ 通り
積の法則より $_9C_4 × _5C_3 × _2C_2$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/7336a811ba3708301ced4fe8d44b43db.jpg)
順列なのに組合せの $_nC_r$ を使うことが意外だね!
$!$ を使った解き方
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
$_9C_4 × _5C_3 × _2C_2$ を式変形すると,
順列の「$!$」 を使った式で表すこともできるよ!
$_9C_4 × _5C_3 × _2C_2$
$\displaystyle{=\frac{9・8・7・6}{4・3・2・1}×\frac{5・4・3}{3・2・1}×\frac{2・1}{2・1}}$
$\displaystyle{=\frac{9・8・7・6・5・4・3・2・1}{(4・3・2・1)(3・2・1)(2・1)}}$
$\displaystyle{=\frac{9!}{4!3!2!}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/92f3cf59c0e717a46b0aa98127cdc56a.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
「$!$」を使っても計算できるね!
同じものを含む順列の総数
あるとき,それらを1列で並べる順列の総数は
$\displaystyle{\frac{n!}{p!q!r!}}$ ($n=p+q+r$)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/73d4f0e9f0c7054a1924dcf58f0b85ae.png)
まとめ
● 同じものを含む順列
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/73d4f0e9f0c7054a1924dcf58f0b85ae.png)
$_nC_r$ を使って解くこともできる
問題
(1) $1$ を3個,$2$ を2個,$3$ を2個すべてを並べる
(2) 6文字 $BANANA$ をすべて使った文字列
(1) $1$ を3個,$2$ を2個,$3$ を2個すべてを並べる
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/56ae6142edf0e607c52687be50d7a82e.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/0fc04d3d71f7c13a68d73d16770231b9.png)
$=210$ (通り)
(2) 6文字 $BANANA$ をすべて使った文字列
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/389870341b373d25336b12f8e275da3b.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/15737994b7d1783918ca764e73dd4059.png)
$=60$ (通り)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
順列に同じものが含まれている場合は,しっかり解けるようにしよう!
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