場合の数
ある事柄の起こり方が何通りかを求めることを
「場合の数を求める」という
数学におけるある事柄とは，具体的に
- さいころを投げたときの目の出方
- コインを投げたときの裏表の出方
- 袋に入っている玉の取り出し方
などが挙げられる
樹形図
場合の数を「もれなく」「だぶりなく」求める方法として，
まずは「樹形図」を学ぼう！
引き分けはなく，$3$ 勝したらそれ以降の試合はないものとする。
$1$ 試合目に勝利したとき，予選を通過するための勝敗の順は何通りか。
樹形図をかくと
求める場合の数は $6$ 通り
「もれなく」「だぶりなく」数えたいときは
「樹形図」が分かりやすいね！
和の法則
$A$ または $B$ の起こる場合の数は，$a+b$ 通り
３つ以上の事柄についても同様
和の法則は簡単に言うと
「重複していないなら足せる」という法則だよ！
$5$ の倍数になる目の出方は何通りか。
目の和が $5$ の倍数になるのは
目の和が $5$ または $10$ のときである
[1] 目の和が $5$ のとき
$(1，4)$，$(2，3)$，$(3，2)$，$(4，1)$ の $4$ 通り
[2] 目の和が $10$ のとき
$(4，6)$，$(5，5)$，$(6，4)$ の $3$ 通り
[1] と [2] の起こり方に重複はないので
$4+3=7$ (通り)
※さいころの目の出方を $(大，小)$ と表している
「同時に起こらない」ことは「足す」
積の法則
$A$ が起こり，$B$ が起こる場合は $a×b$ 通り
３つ以上の事柄についても同様
「積の法則」を理解するには「樹形図」が効果的だよ！
全部で何通り種類のセットができるか。
①ライスかパン
②唐揚げかハンバーグかトンカツ
樹形図で表すと
①の選び方 $2$ 通りのそれぞれに対して，
②の選び方が $3$ 通りあるから
$2×3=6$ (通り)
「樹形図」をかくと「積の法則」が理解しやすいね！
３つ以上の事柄に対しても「積の法則」は使えるよ！
全部で何通り種類のセットができるか。
①ライスかパン
②味噌汁かコーンポタージュ
③唐揚げかハンバーグかトンカツ
樹形図で表すと
①の選び方 $2$ 通りのそれぞれに対して，
②の選び方は $2$ 通りで $2×2$ (通り)
①，②の選び方 $2×2$ 通りのそれぞれに対して，
③の選び方は $3$ 通りなので，
$2×2×3=12$ (通り)
「樹形図」を考えれば，
「積の法則」が使える理由も納得！
まとめ
● 場合の数を求めるポイント
「もれなく」かつ「だぶりなく（重複なく）」数える（計算する）こと
樹形図を作ると考えやすい
● 和の法則
２つの事柄に $A$ ($a$ 通り) と $B$ ($b$ 通り) に重複がないとき
$A$ または $B$ の起こる場合の数は，$a+b$ 通り
３つ以上の事柄についても同様
● 積の法則（樹形図を考えることが大切）
事柄 $A$ の $a$ 通りのどの場合に対しても事柄 $B$ が$b$ 通りあれば，
$A$ が起こり，$B$ が起こる場合は $a×b$ 通り
３つ以上の事柄についても同様
問題
(1) ２個のさいころの目の出方
(2) 目の和が $4$ の倍数
(3) 大きいさいころは偶数，小さいさいころは $3$ の倍数
(1) ２個のさいころの目の出方
大のさいころの目の出方は $6$ 通り
その出方それぞれに対して小さいさいころの目の出方は $6$ 通り
積の法則より $6×6=36$ (通り)
(2) 目の和が $4$ の倍数
目の和が $4$ の倍数になるのは
目の和が $4$ または $8$ または $12$ のときである
[1] 目の和が $4$ のとき
$(1，3)$，$(2，2)$，$(3，1)$ の $3$ 通り
[2] 目の和が $8$ のとき
$(2，6)$，$(3，5)$，$(4，4)$，$(5，3)$，$(6，2)$ の $5$ 通り
[3] 目の和が $12$ のとき
$(6，6)$
[1] と [2] と [3] の起こり方に重複はないので
和の法則より $3+5+1=9$ (通り)
※さいころの目の出方を $(大，小)$ と表している
(3) 大きいさいころは偶数，小さいさいころは $3$ の倍数
大のさいころの目の出方は，$2$，$4$，$6$ の $3$ 通り
その出方それぞれに対して小さいさいころの目の出方は，$3$，$6$ の $2$ 通り
積の法則より $3×2=6$ (通り)
「和の法則」と「積の法則」を使い分けられるようにしよう！
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