和の法則と積の法則

場合の数

ある事柄の起こり方が何通りかを求めることを

「場合の数を求める」という

数学におけるある事柄とは，具体的に

• さいころを投げたときの目の出方
• コインを投げたときの裏表の出方
• 袋に入っている玉の取り出し方

などが挙げられる

樹形図

樹形図をかくと

求める場合の数は　$6$ 通り

和の法則

目の和が $5$ の倍数になるのは
目の和が $5$ または $10$ のときである

[1] 目の和が $5$ のとき

　　$(1，4)$，$(2，3)$，$(3，2)$，$(4，1)$　の $4$ 通り

[2] 目の和が $10$ のとき

　　$(4，6)$，$(5，5)$，$(6，4)$　の $3$ 通り

[1] と [2] の起こり方に重複はないので

　　$4+3=7$ (通り)　

※さいころの目の出方を $(\mathrm{大}，\mathrm{小})$ と表している

積の法則

樹形図で表すと

①の選び方 $2$ 通りのそれぞれに対して，

②の選び方が $3$ 通りあるから

$2\times 3=6$ (通り)

樹形図で表すと

①の選び方 $2$ 通りのそれぞれに対して，

②の選び方は $2$ 通りで $2\times 2$ (通り)

①，②の選び方 $2\times 2$ 通りのそれぞれに対して，

③の選び方は $3$ 通りなので，

$2\times 2\times 3=12$ (通り)

まとめ

● 場合の数を求めるポイント

　「もれなく」かつ「だぶりなく（重複なく）」数える（計算する）こと

　樹形図を作ると考えやすい

● 和の法則

　２つの事柄に $A$ ($a$ 通り) と $B$ ($b$ 通り) に重複がないとき
　$A$ または $B$ の起こる場合の数は，$a+b$ 通り
　３つ以上の事柄についても同様

● 積の法則（樹形図を考えることが大切）

　事柄 $A$ の $a$ 通りのどの場合に対しても事柄 $B$ が$b$ 通りあれば，

　$A$ が起こり，$B$ が起こる場合は $a\times b$ 通り

　３つ以上の事柄についても同様

問題

(1)　２個のさいころの目の出方

大のさいころの目の出方は $6$ 通り
その出方それぞれに対して小さいさいころの目の出方は $6$ 通り
積の法則より　$6\times 6=36$ (通り)

(2)　目の和が $4$ の倍数

目の和が $4$ の倍数になるのは
目の和が $4$ または $8$ または $12$ のときである

[1] 目の和が $4$ のとき

　　$(1，3)$，$(2，2)$，$(3，1)$　の $3$ 通り

[2] 目の和が $8$ のとき

　　$(2，6)$，$(3，5)$，$(4，4)$，$(5，3)$，$(6，2)$　の $5$ 通り

[3] 目の和が $12$ のとき

　　$(6，6)$

[1] と [2] と [3] の起こり方に重複はないので
和の法則より　$3+5+1=9$ (通り)　

※さいころの目の出方を $(\mathrm{大}，\mathrm{小})$ と表している

(3)　大きいさいころは偶数，小さいさいころは $3$ の倍数

大のさいころの目の出方は，$2$，$4$，$6$ の $3$ 通り
その出方それぞれに対して小さいさいころの目の出方は，$3$，$6$ の $2$ 通り
積の法則より　$3\times 2=6$ (通り)