場合分けによる絶対値記号のはずし方

次の式について，$x$ の値によって場合分けして絶対値の記号をはずせ。
(1)　$|x-1|$
(2)　$|2x+4|$
(2)　$|3-x|$

(1)　$|x-1|$

　絶対値の中 $x-1$ が正（$0$ 以上）のとき

　$x-1≧0$ すなわち $x≧1$ のとき

$|x-1|=x-1$　
（そのままはずす）

　絶対値の中 $x-1$ が負のとき

　$x-1<0$ すなわち $x < 1$ のとき

$|x-1|=-(x-1)=-x+1$　
（マイナスをつけてはずす）

　まとめると

\begin{align} &|x-1|=\left\{ \begin{array}{ll} x-1　　(x≧1　のとき) \\ -x+1　(x<1　のとき) \end{array} \right.\\\\ \end{align}

(2)　$|2x+4|$

　絶対値の中 $2x+4$ が正（$0$ 以上）のとき

　$2x+4≧0$ すなわち $x≧-2$ のとき

$|2x+4|=2x+4$　
（そのままはずす）

　絶対値の中 $2x+4$ が負のとき

　$2x+4<0$ すなわち $x < -2$ のとき

$|2x+4|=-(2x+4)=-2x-4$　
（マイナスをつけてはずす）

　まとめると

\begin{align} &|2x+4|=\left\{ \begin{array}{ll} 2x+4　　(x≧-2　のとき) \\ -2x-4　(x<-2　のとき) \end{array} \right.\\\\ \end{align}

(3)　$|3-x|$

　絶対値の中 $3-x$ が正（$0$ 以上）のとき

　$3-x≧0$ すなわち $x≦3$ のとき

$|3-x|=3-x$　
（そのままはずす）

　絶対値の中 $3-x$ が負のとき

　$3-x<0$ すなわち $x > 3$ のとき

$|3-x|=-(3-x)=-3+x$　
（マイナスをつけてはずす）

　まとめると

\begin{align} &|3-x|=\left\{ \begin{array}{ll} 3-x　　(x≦3　のとき) \\ -3+x　(x>3　のとき) \end{array} \right.\\\\ \end{align}

次の式について，$x$ の値によって場合分けして絶対値の記号をはずせ。
$$|x+1|+|x-2|$$

　$|x+1|$ と $|x-2|$ の絶対値をはずすと以下のようになる

\begin{align} &|x+1|=\left\{ \begin{array}{ll} x+1　　(x≧-1　のとき) \\ -x-1　(x<-1　のとき) \end{array} \right.\\\\ \end{align} \begin{align} &|x-2|=\left\{ \begin{array}{ll} x-2　　(x≧2　のとき) \\ -x+2　(x<2　のとき) \end{array} \right.\\\\ \end{align}

　$|x+1|$ は $-1$ を境に場合分け
　$|x-2|$ は $2$ を境に場合分け

　これらの場合分けを１つの数直線にまとめると

\begin{array}{c|c|c|c} & x < -1 & -1 ≦ x < 2 & 2 ≦ x \\ \hline \\ |x+1| & -x-1 & x+1 & x+1 \\\\ |x-2| & -x+2 & -x+2 & x-2 \\\\ \end{array}

　このように $-1$ と $2$ を境に，３つのパターンで場合分けすることができます

　$x < -1$ のとき
　$|x+1|=-x-1$，$|x-2|=-x+2$ なので

\begin{eqnarray} && |x+1|+|x-2| \\ & = & (-x-1)+(-x+2) \\ & = & -2x+1 \end{eqnarray}

　$-1 ≦ x < 2$ のとき
　$|x+1|=x+1$，$|x-2|=-x+2$ なので

\begin{eqnarray} && |x+1|+|x-2| \\ & = & (x+1)+(-x+2) \\ & = & 3 \end{eqnarray}

　$2 ≦ x$ のとき
　$|x+1|=x+1$，$|x-2|=x-2$ なので

\begin{eqnarray} && |x+1|+|x-2| \\ & = & (x+1)+(x-2) \\ & = & 2x-1 \end{eqnarray}

　まとめると

\begin{align} &|x+1|+|x-2|=\left\{ \begin{array}{lll} -2x+1　　(x<-1　のとき) \\ 3　　　(-1 ≦ x < 2　のとき) \\ 2x-1　　(2≦x　のとき) \end{array} \right. \end{align}

絶対値記号は，記号内の式の正負で場合分けしてはずす \begin{align} |A|=\left\{ \begin{array}{ll} A　　(A≧0　のとき) \\ -A　(A<0　のとき) \end{array} \right. \end{align} \begin{align} 絶対値記号内が\left\{ \begin{array}{ll} 0 以上ならそのままはずす \\ 負ならマイナスをつけてはずす \end{array} \right. \end{align}

🔴場合分けが必要な絶対値の方程式と不等式の解法を解説
🔵√A²=|A| 間違える人がとても多い公式を解説