曲線で囲まれる面積を求めるときに使う「定積分」の計算方法を学ぼう！
不定積分
$\displaystyle{\int f(x)dx=F(x)+C}$ ただし，$C$ は積分定数
詳しく「不定積分」を学びたい場合はこれ↓
定積分
不定積分に対して，定積分はこのような計算をする！
$F'(x)=f(x)$ のとき
$\displaystyle{\int_a^b f(x) dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)}$
定積分の $\displaystyle{\int_a^b f(x) dx}$ において
$a$ を 下端（かたん），$b$ を 上端（じょうたん） という
定積分の $\displaystyle{\int_a^b f(x) dx}$ を求めることを
関数 $f(x)$ を $a$ から $b$ まで 積分する という
問題
次の定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle{\int_1^2 (2x+1) dx}$
(2) $\displaystyle{\int_{-1}^2 (-x^2+x) dx}$
(1) $\displaystyle{\int_1^2 (2x+1) dx}$
\begin{align} &\int_1^2 (2x+1) dx \\\\ &= \left[ x^2+x \right]_1^2 \\\\ &= 2^2+2-(1^2+1) \\\\ &= 4 \\\\ \end{align}(2) $\displaystyle{\int_{-1} ^2 (-x^2+x) dx}$
\begin{align} &\int_{-1}^2 (-x^2+x) dx \\\\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 \right]_{-1}^2 \\\\ &= -\frac{1}{3}\cdot2^3+\frac{1}{2}\cdot2^2- \left\{-\frac{1}{3}\cdot(-1)^3+\frac{1}{2}\cdot(-1)^2 \right\} \\\\ &= -\frac{3}{2} \\\\ \end{align}定積分のおすすめ計算法
$\displaystyle{\int_{-1}^3 (x^3+x^2+x) dx}$
$\displaystyle{ = \left[ \frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 \right]_{-1}^3 }$
$\displaystyle{ = \frac{1}{4}\cdot3^4+\frac{1}{3}\cdot3^3+\frac{1}{2}\cdot3^2- \left\{\frac{1}{4}\cdot(-1)^4+\frac{1}{3}\cdot(-1)^3+\frac{1}{2}\cdot(-1)^2 \right\} }$
$\displaystyle{ = \frac{81}{4}+\frac{27}{3}+\frac{9}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2} }$
$\displaystyle{ = \frac{1}{4}(81-1)+\frac{1}{3}(27+1)+\frac{1}{2}(9-1)}$ $\cdots\cdots$ (A)
$\displaystyle{ = \frac{1}{4}\cdot80+\frac{1}{3}\cdot28+\frac{1}{2}\cdot8}$
$\displaystyle{ = 20+\frac{28}{3}+4}$
$\displaystyle{=\frac{100}{3}}$
計算が大変すぎるね…
簡単に解く方法はないの？
このような計算をすれば，上の(A)まで計算を省くことができるよ！
$\displaystyle{\int_{-1}^3 (x^3+x^2+x) dx}$
$\displaystyle{ = \left[ \frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 \right]_{-1}^3 }$
$\displaystyle{ = \frac{1}{4}\left\{3^4-(-1)^4\right\}+\frac{1}{3}\left\{3^3-(-1)^3\right\}+\frac{1}{2}\left\{3^2-(-1)^2\right\}}$
$\displaystyle{ = \frac{1}{4}(81-1)+\frac{1}{3}(27+1)+\frac{1}{2}(9-1)}$ $\cdots\cdots$ (A)
$\displaystyle{ = \frac{1}{4}\cdot80+\frac{1}{3}\cdot28+\frac{1}{2}\cdot8}$
$\displaystyle{ = 20+\frac{28}{3}+4}$
$\displaystyle{=\frac{100}{3}}$
こっちの方が計算が楽だね！
結果的に同じ答えになるので，楽な方で計算しよう！
関数の定数倍および和，差の定積分
１ $\displaystyle{\int_a^b kf(x) dx= k\int_a^b f(x) dx}$ $k$ は定数
２ $\displaystyle{\int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx = \int_a^b \{f(x)+g(x)\} dx}$
３ $\displaystyle{\int_a^b f(x) dx – \int_a^b g(x) dx = \int_a^b \{f(x)-g(x)\} dx}$
問題
計算で使える場面があったら，使ってみよう！
$\displaystyle{\int_{-1}^1 (x+1)^2 dx – \int_{-1}^1 (x-1)^2 dx}$
$\displaystyle{=\int_{-1}^1 \left\{(x+1)^2-(x-1)^2\right\} dx}$
$\displaystyle{=\int_{-1}^1 \left\{(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)\right\} dx}$
$\displaystyle{=\int_{-1}^1 4x dx}$
$\displaystyle{=2\int_{-1}^1 2x dx}$
$\displaystyle{=2\left[x^2\right]_{-1}^1}$
$\displaystyle{=2\left\{1^2-(-1)^2\right\}}$
$=0$
計算が楽になるね！
定積分の性質
計算で使える定積分の性質をみてみよう！
１ $\displaystyle{\int_a^a f(x) dx= 0}$
２ $\displaystyle{\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx}$
３ $\displaystyle{\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx}$
１ $\displaystyle{\int_a^a f(x) dx= 0}$
下端と上端が同じなら，定積分は $0$
２ $\displaystyle{\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx}$
下端と上端を入れかえると，マイナスがつく
３ $\displaystyle{\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx}$
$a$ から $c$ までの定積分と $c$ から $b$ までの定積分は
$a$ から $b$ までの定積分
ただし，積分される関数が同じ場合のみ
３ $\displaystyle{\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx}$ の証明
$F'(x)=f(x)$ とすると
\begin{align} &\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx \\\\ &= \left[F(x)\right]_a^c + \left[F(x)\right]_c^b \\\\ &= F(c)-F(a)+F(b)-F(c) \\\\ &= F(b)-F(a) \\\\ &= \int_a^b f(x) dx \end{align}これらの性質を使って問題を解いてみよう！
問題
まとめ
● 定積分
$F'(x)=f(x)$ のとき
$\displaystyle{\int_a^b f(x) dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)}$
● 関数の定数倍および和，差の定積分
１ $\displaystyle{\int_a^b kf(x) dx= k\int_a^b f(x) dx}$ $k$ は定数
２ $\displaystyle{\int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx = \int_a^b \{f(x)+g(x)\} dx}$
３ $\displaystyle{\int_a^b f(x) dx – \int_a^b g(x) dx = \int_a^b \{f(x)-g(x)\} dx}$
● 定積分の性質
１ $\displaystyle{\int_a^a f(x) dx= 0}$
下端と上端が同じなら，定積分は $0$
２ $\displaystyle{\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx}$
下端と上端を入れかえると，マイナスがつく
３ $\displaystyle{\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx}$
$a$ から $c$ までの定積分と $c$ から $b$ までの定積分は
$a$ から $b$ までの定積分
ただし，積分される関数が同じ場合のみ
定積分は計算ミスが多い！
なるべく簡単に計算できるように工夫しよう！
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