平均値と分散からデータの値を求める問題をわかりやすく解説！

高校数学Ⅰの『データの分析』の基本問題の１つである『平均値と分散からのデータの値の決定』をわかりやすく解説しました！

データの平均値と分散の理解度を高めるために、重要な問題になっています！

問題

右の表は、生徒 $5$ 人が $15$ 点満点のテストを受けたときの結果である。 $5$ 人の生徒の得点の平均点は $8$ 点、分散は $18$ であるとき、生徒 $A$ 、 $B$ の得点を求めよ。ただし、 $a < b$ とする。

\begin{array}{cccccc} 生 徒 & A & B & C & D & E \\ 得 点 & a & b & 8 & 11 & 14 \end{array}

解答

＜平均値と分散それぞれについて式をつくる＞
　分散は『(偏差)²の平均』または『(2乗の平均)－(平均)²』で求まる
　（偏差は『データ－平均値』で計算できる）

平均値が $8$ 点であるから

　　 $\frac{1}{5} (a + b + 8 + 11 + 14) = 8$

よって　　 $a + b = 7$ 　…　①

分散が $18$ であるから

\begin{array}{cccccc} 生 徒 & A & B & C & D & E \\ 得 点 & a & b & 8 & 11 & 14 \end{array}

　　　　　 $\frac{1}{5} {(a - 8)^{2} + (b - 8)^{2} + (8 - 8)^{2} + (11 - 8)^{2} + (14 - 8)^{2}) = 18$

よって　　 $(a - 8)^{2} + (b - 8)^{2} = 45$ 　…　②

①より　 $b = 7 - a$ を②に代入すると　　 $a^{2} - 7 a + 10 = 0$

ゆえに　　 $a = 2 ， 5$

①に代入すると、 $a < b$ より　　 $a = 2$ ， $b = 5$

＜分散について補足＞

『(偏差)²の平均』を用いれば

　　 $\frac{1}{5} {(a - 8)^{2} + (b - 8)^{2} + (8 - 8)^{2} + (11 - 8)^{2} + (14 - 8)^{2}) = 18$

『(2乗の平均)－(平均)²』を用いれば

　　 $\frac{1}{5} (a^{2} + b^{2} + 8^{2} + 11^{+} 14^{2}) - 8^{2} = 18$

どちらを用いてもよい。