高校数学Ⅰの『データの分析』の基本問題の１つである『平均値と分散からのデータの値の決定』をわかりやすく解説しました！
データの平均値と分散の理解度を高めるために、重要な問題になっています！
右の表は、生徒 $5$ 人が $15$ 点満点のテストを受けたときの結果である。$5$ 人の生徒の得点の平均点は $8$ 点、分散は $18$ であるとき、生徒 $\textrm{A}$、$\textrm{B}$ の得点を求めよ。ただし、$a<b$ とする。
＜平均値と分散それぞれについて式をつくる＞
分散は『(偏差)²の平均』または『(2乗の平均)－(平均)²』で求まる
（偏差は『データ－平均値』で計算できる）
平均値が $8$ 点であるから
$\displaystyle{\frac{1}{5}(a+b+8+11+14)=8}$
よって $a+b=7$ … ①
分散が $18$ であるから
$\displaystyle{\frac{1}{5}\{(a-8)^2+(b-8)^2+(8-8)^2+(11-8)^2+(14-8)^2)=18}$
よって $(a-8)^2+(b-8)^2=45$ … ②
①より $b=7-a$ を②に代入すると $a^2-7a+10=0$
ゆえに $a=2，5$
①に代入すると、$a<b$ より $a=2$，$b=5$
＜分散について補足＞
『(偏差)²の平均』を用いれば
$\displaystyle{\frac{1}{5}\{(a-8)^2+(b-8)^2+(8-8)^2+(11-8)^2+(14-8)^2)=18}$
『(2乗の平均)－(平均)²』を用いれば
$\displaystyle{\frac{1}{5}(a^2+b^2+8^2+11^+14^2)-8^2=18}$
どちらを用いてもよい。
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