座標平面における三角形の面積

座標平面における三角形の面積

直線 $AB$ の傾きは

$\displaystyle{\frac{3-2}{2-(-2)}=\frac{1}{4}}$

直線 $AB$ の方程式は

$\displaystyle{y-3=\frac{1}{4}(x-2)}$

$\displaystyle{y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}}$

よって，直線 $AB$ の $y$ 切片は　$\displaystyle{\frac{5}{2}}$

したがって，$\triangle OAB$ の面積 $S$ は

\begin{eqnarray} S &=& \frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot2+\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot2 \\\\ &=& \frac{5}{2}+\frac{5}{2}\\\\ &=& 5 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} S &=& \frac{1}{2}|2\cdot2-3\cdot(-2)| \\\\ &=& \frac{1}{2}|10|\\\\ &=& \frac{1}{2}\cdot10\\\\ &=& 5\\\\ \end{eqnarray}

ベクトルを用いた三角形の面積

これをベクトルで表現する

$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とすると

ここで，$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より

$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$

$0^\circ<\theta<180^\circ$ より，$\sin\theta>0$ なので

$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$

$\displaystyle{\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}$ より

\begin{eqnarray} \sin\theta &=& \sqrt{1-\frac{(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2}} \\\\ &=& \frac{\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \\\\ \end{eqnarray}

これより

\begin{eqnarray} S &=& \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \\\\ &=& \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\frac{\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \\\\ &=& \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} \\\\ \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} S &=& \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} \\\\ &=& \frac{1}{2}\sqrt{1^2\cdot2^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2} \\\\ &=& \frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{4}} \\\\ &=& \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{15}}{2} \\\\ &=& \frac{\sqrt{15}}{4} \end{eqnarray}

成分表示を用いた三角形の面積

$\vec{a}=(a_1，a_2)$，$\vec{b}=(b_1，b_2)$ とすると

$|\vec{a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$，$|\vec{b}|=\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$

これを　$\displaystyle{S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}}$　に代入して

\begin{eqnarray} S &=& \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} \\\\ &=& \frac{1}{2}\sqrt{({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2} \\\\ &=& \frac{1}{2}\sqrt{{a_1}^2{b_2}^2-2a_1b_1a_2b_2+{a_2}^2{b_1}^2} \\\\ &=& \frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2} \\\\ &=& \frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1| \\\\ \end{eqnarray}

$\displaystyle{S=\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|}$

　

座標平面における三角形の面積の利用

点 $A(1，1)$ を原点に平行移動するように

点 $B(3，4)$ と 点 $C(-1，3)$ を平行移動すると

点 $B$ は $B'(2，3)$，点 $C$ は $C'(-2，-2)$ という点に平行移動する

平行移動しただけなので，

$\triangle ABC$ は $triangle OB’C’$ の面積と等しい

よって

\begin{eqnarray} S &=& \frac{1}{2}|2\cdot2-3\cdot(-2)| \\\\ &=& \frac{1}{2}|10|\\\\ &=& \frac{1}{2}\cdot10\\\\ &=& 5\\\\ \end{eqnarray}

$\overrightarrow{AB}=(2，3)$，$\overrightarrow{AC}=(-2，2)$

以下のような図で考えることができる

\begin{eqnarray} S &=& \frac{1}{2}|2\cdot2-3\cdot(-2)| \\\\ &=& \frac{1}{2}|10|\\\\ &=& \frac{1}{2}\cdot10\\\\ &=& 5\\\\ \end{eqnarray}

まとめ

● 座標平面における三角形の面積

　原点 $O$，$A(a_1，a_2)$，$B(b_1，b_2)$ を頂点とする $\triangle OAB$ の面積 $S$ は

$\displaystyle{S=\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|}$

● ベクトルを用いた三角形の面積

　$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とすると，$\triangle OAB$ の面積 $S$ は

$\displaystyle{S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}}$