式の展開 公式の利用

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数と式

式の展開は数学の基本中の基本!

必ず覚えたい10種類の展開の公式をわかりやすく解説しました!

展開の公式を定着させて,いつでも使えるレベルになるまで練習しましょう!

この投稿を見て勉強すれば,展開の基本的な問題に困ることはありません!

展開の公式まとめ

覚えるべき10種類の展開の公式(乗法公式)はこれ!

展開の公式
1. (a+b)2=a2+2ab+b22. (ab)2=a22ab+b23. (a+b)(ab)=a2b24. (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab5. (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd6. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b37. (ab)3=a33a2b+3ab2b38. (a+b)(a2ab+b2)=a3+b39. (ab)(a2+ab+b2)=a3b310. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

2次の乗法公式

(a±b)2 の乗法公式

1. (a+b)2=a2+2ab+b2

2. (ab)2=a22ab+b2

 

例題
次の式を展開せよ。
(1) (2x+3y)2 
(2) (x21)2 

 

(1) (a+b)2=a2+2ab+b2 について,a=2xb=3y として考える

  (2x+3y)2=(2x)2+22x3y+(3y)2=4x2+12xy+9y2

(2) (ab)2=a22ab+b2 について,a=x2b=1 として考える

  (x21)2=(x2)22x21+12=x42x2+1

答えを見る

(a+b)(ab) の乗法公式

3. (a+b)(ab)=a2b2

 

例題
(2x+3y)(2x3y) を展開せよ。

 

(a+b)(ab)=a2b2 について,a=2xb=3y として考える

(2x+3y)(2x3y)=(2x)2(3y)2=4x29y2

答えを見る

(x+a)(x+b) の乗法公式

4. (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

 

例題
次の式を展開せよ。
(1) (x+4)(x2)
(2) (x2y)(x3y)

 

(x+a)(x+b) の展開は 和 a+b と 積 ab に注目することが重要

(1) (x+4)(x2)=x2+2x8

  和が 4+(2)=2 積が 4(2)=8

(2) (x2y)(x3y)=x25xy+6y2

  和が 2y+(3y)=5y 積が (2y)(3y)=6y2

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(ax+b)(cx+d) の乗法公式

5. (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

 

例題
次の式を展開せよ。
(1) (3x+4)(2x1)
(2) (2x3y)(3x2y)

 

(1) (3x+4)(2x1)=32x2+{3(1)+42}x+4(1)

            =6x2+5x4

(2) (2x3y)(3x2y)=23x2+{2(2)+(3)3}xy+(3)(2)y3

             =6x2+13xy+6y2

答えを見る

3次の乗法公式

(a±b)3 の乗法公式

6. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

7. (ab)3=a33a2b+3ab2b3

 

例題
次の式を展開せよ。
(1) (x+2)3
(2) (2x3y)3

 

(1) (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 について,a=xb=2 として考える

  (x+2)3=x3+3x22+3x22+23=x3+6x2+12x+8

(2) (ab)3=a33a2b+3ab2b3 について,a=2xb=3y として考える

  (2x3y)3=(2x)33(2x)23y+32x(3y)2(3y)3

       =8x336x2y+54xy227y3

答えを見る

(a±b)(a2ab+b2) の乗法公式

8. (a+b)(a2ab+b2)=a3+b3

9. (ab)(a2+ab+b2)=a3b3

 

例題
次の式を展開せよ。
(1) (x+3)(x23x+9)
(2) (3x2y)(9x2+6xy+4y2)

 

(1) (a+b)(a2ab+b2)=a3+b3 について,a=xb=3 として考える

  (x+3)(x23x+9)=x3+33=x3+27

(2) (ab)(a2+ab+b2)=a3b3 について,a=3xb=2y として考える

  (3x2y)(9x2+6xy+4y2)=(3x)3(2y)3=27x38y3

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(a+b+c)2 の乗法公式

10. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

 

例題
(xy+2z)2 を展開せよ。

 

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca について,a=xb=yc=2z として考える

(xy+2z)2=x2+(y)2+(2z)2+2x(y)+2(y)2z+22zx

     =x2+y2+4z22xy4yz+4zx

答えを見る

 

これで展開の公式はばっちり!

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🔰基本…まずはこの記事から!
🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要!
🔴応用…場合分けなど思考力が要求される!

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