指数の計算

指数の基本

問題

　(1)　$\sqrt[3]{5}=□^{\frac{□}{□}}$

$\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}$

　(2)　$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=□^{-\frac{□}{□}}}$

$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=2^{-\frac{1}{3}}}$

　(3)　$\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2^□}=2^{\frac{□}{□}}$

$\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2^4}=2^{\frac{4}{5}}$

詳しくはこれ↓

指数法則

　１　$a^r\times a^s=a^{r+s}$

$a^2\times a^3=(a\times a)\times(a\times a\times a)=a^{2+3}=a^5$

　２　$\displaystyle{a^r\div a^s=\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}}$

$\displaystyle{a^5\div a^3=\frac{a^5}{a^3}=\frac{a\times a\times a\times a\times a}{a\times a}=a^{5-3}=a^2}$

　３　$(a^r)^s=a^{rs}$

$(a^2)^3=(a\times a)\times(a\times a)\times(a\times a)=a^{2\times3}=a^6$

　

問題

　(1)　$4^{\frac{1}{3}}\times2^{\frac{1}{6}}$

$4^{\frac{1}{3}}\times2^{\frac{1}{6}}=4^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$

　(2)　$3^{\frac{2}{3}}\div3^{\frac{1}{3}}$

$3^{\frac{2}{3}}\div3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3}$

　(3)　$5^{\frac{3}{2}}\times5^{\frac{4}{3}}\div5^{\frac{5}{6}}$

$5^{\frac{3}{2}}\times5^{\frac{4}{3}}\div5^{\frac{5}{6}}=5^{\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\frac{5}{6}}=5^2=25$

　(4)　$8^{\frac{1}{2}}\div8^{\frac{1}{6}}\times8^{\frac{1}{3}}$

$8^{\frac{1}{2}}\div8^{\frac{1}{6}}\times8^{\frac{1}{3}}= 8^{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}=8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$

　(1)　$\sqrt[3]{2}\times\sqrt{2}\div\sqrt[6]{2}$

$\sqrt[3]{2}\times\sqrt{2}\div\sqrt[6]{2}=2^{\frac{1}{3}}\times2^{\frac{1}{2}}\div2^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}=2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}$

　(2)　$\sqrt[3]{3^2}\div\sqrt{3^3}\times\sqrt[6]{3^5}$

$\sqrt[3]{3^2}-\sqrt{3^3}+\sqrt[6]{3^5}=3^{\frac{2}{3}}\div3^{\frac{3}{2}}\times3^{\frac{5}{6}}=3^{\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+\frac{5}{6}}=3^0=1$

まとめ

● 指数の基本

　　$\displaystyle{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}$　　　　　　$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$　　　　　　$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

● 指数法則

　１　$a^r\times a^s=a^{r+s}$

　　「掛け算」は指数部分の「足し算」

　２　$\displaystyle{a^r\div a^s=\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}}$

　　「割り算」は指数部分の「引き算」

　３　$(a^r)^s=a^{rs}$