大学入試に向けて数学を何から勉強したらいいか分からないよー！
そんな高校生のために，単元別に細かく
『大学入試合格へのロードマップ』
を作ったよ！
つまり，単元別に勉強するべき内容をまとめてくれたってこと？
その通り！
ロードマップにしたがって，順番に勉強を進めることで，その単元の実践力が身につくよ！
この投稿は，高校数学Ⅰ『数と式』の大学入試合格に向けたロードマップをまとめたものです。
基本問題から応用問題まで幅広く，単元の中で取り組むべき内容をまとめました。
『数と式』ロードマップ
『数と式』でマスターしたいのは，この５つ！
- 展開
- 因数分解
- 実数
- １次不等式
- 絶対値
展開
展開ってとりあえずカッコをはずせばいいんじゃないの？
時間をかければ答えにたどり着くかもしれないけど，
時間がかかる上に計算ミスのリスクがあるからね！
最善の方法を考えることをやめると数学の力がつかないよ！
展開をなめてました…
以下の10個の『展開の公式』を覚えて使えるか確認しよう！
公式の利用
(1) $(2x+3y)^2$
(2) $(x^2-1)^2$
(3) $(2x+3y)(2x-3y)$
(4) $(x+4)(x-2)$
(5) $(x-2y)(x-3y)$
(6) $(3x+4)(2x-1)$
(7) $(2x-3y)(3x-2y)$
(8) $(x+2)^3$
(9) $(2x-3y)^3$
(10) $(x+3)(x^2-3x+9)$
(11) $(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)$
(12) $(x-y+2z)^2$
(2) $x^4-2x^2+1$
(3) $4x^2-9y^2$
(4) $x^2+2x-8$
(5) $x^2-5xy+6y^2$
(6) $6x^2+5x-4$
(7) $6x^2-13xy+6y^2$
(8) $x^3+6x^2+12x+8$
(9) $8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3$
(10) $x^3+27$
(11) $27x^3-8y^3$
(12) $x^2+y^2+4z^2-2xy-4yz+4zx$
置き換えの利用
共通した部分がある場合は『置き換え』が有効！
(1) $(a+b+2c)(a+b-2c)$
(2) $(x^2-x+1)(x^2-3x+1)$
(3) $(2x+y-z)(2x-y+z)$
(4) $(a-b+c+d)(a+b+c-d)$
(2) $x^4-4x^3+5x^2-4x+1$
(3) $4x^2-y^2-2yz+z^2$
(4) $a^2-b^2+c^2-d^2+2ac+2bd$
順序や組合せの工夫
展開は，前から計算するばかりじゃない！
２つの問題パターンをおさえよう！
② 共通な部分ができるように考えるパターン
(1) $(2a+b)^2(2a-b)^2$
(2) $(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$
(3) $(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)$
(4) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)$
(2) $x^6-1$
(3) $x^4+4x^3-19x^2-46x+120$
(4) $x^4+12x^3+47x^2+72x+36$
因数分解
『因数分解』とは展開の逆で，積の形をつくること！
公式の利用
『展開』の公式の逆が『因数分解』の公式！
改めて覚え直す必要はない！
(1) $x^2+4xy+4y^2$
(2) $9a^2-12ab+4b^2$
(3) $16x^2-y^2$
(4) $x^2-5xy-24y^2$
(5) $x^3+6x^2+12x+8$
(6) $8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3$
(7) $x^3+27$
(8) $27x^3-8y^3$
(2) $(3a-2b)^2$
(3) $(4x+y)(4x-y)$
(4) $(x+3y)(x-8y)$
(5) $(x+2)^3$
(6) $(2x-3y)^3$
(7) $(x+3)(x^2-3x+9)$
(8) $(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)$
たすき掛け
$x^2$ の係数が $1$ でない $2$ 次式の因数分解は『たすき掛け』を利用しよう！
(1) $2x^2+7x+3$
(2) $6x^2-7x-5$
(3) $3x^2-10xy-8y^2$
(4) $ax^2-(a+2)x+2$
(2) $(2x+1)(3x-5)$
(3) $(3x+2y)(x-4y)$
(4) $(x-1)(ax-2)$
共通因数でくくる
共通因数がないか調べるのが，因数分解の最初のステップ！
共通因数でくくる練習をしよう！
(1) $3x^2y+6xy+9xy^2$
(2) $a^3b+a^2b-6ab$
(3) $ax-x-a+1$
(4) $(a-b)x+(b-a)y$
(2) $ab(a-2)(a+3)$
(3) $(a-1)(x-1)$
(4) $(a-b)(x-y)$
置き換えの利用
展開と同様に，共通部分があったら置き換えを使って因数分解しよう！
(1) $(x+2y)^2-5(x+2y)+6$
(2) $(x^2-3x)(x^2-3x-2)-8$
(3) $x^4-13x^2+36$
(2) $(x+1)(x-4)(x-1)(x-2)$
(3) $(x+3)(x-2)(x-3)(x+2)$
最低次数の文字について整理
２文字以上の式の因数分解では，次数を比較しよう！
(1) $x^2+xy+x+3y-6$
(2) $xyz+x^2y+xy^2+x+y+z$
(2) $(xy+1)(x+y+z)$
たすき掛けの応用
(1) $x^2+5xy+5x+6y^2+11y+4$
(2) $2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6$
(2) $(x-3y+2)(2x+y-3)$
実数
次は『実数』の理解度を確認！
数の分類
『実数』『有理数』『無理数』など，数に関する用語をしっかりおさえよう！
$\displaystyle{\frac{3}{5}}$ $\sqrt{2}+1$ $-0.2$ $\sqrt{4}$ $0.\dot{2}$ $\displaystyle{\frac{\pi}{8}}$
2⃣ 次の数を分数で表せ。(1) $0.\dot{1}$
(2) $0.\dot{1}\dot{5}$
無理数 $\sqrt{2}+1$ $\displaystyle{\frac{\pi}{8}}$
2⃣(1) $\displaystyle{\frac{1}{9}}$
(2) $\displaystyle{\frac{5}{33}}$
根号を含む計算
根号の計算をするには，平方根が何かを知る必要がある！
(1) $36$
(2) $7$
(2) $\pm\sqrt{7}$
平方根って何だっけ？
そんな君にはこれ！
(1) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
(2) $(\sqrt{2}+1+\sqrt{3})(\sqrt{2}+1-\sqrt{3})$
(3) $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$
(4) $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$
(2) $2\sqrt{2}$
(3) $\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
(4) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$
根号の計算が不安な人はこれ！
整数部分と小数部分
まずは『整数部分』から！
(1) $\sqrt{53}$
(2) $\sqrt{2}+1$
(3) $2\sqrt{14}$
(2) $2$
(3) $7$
(3) を間違えた…
(3) は間違える人がとても多い！
不安な人は要チェック！
整数部分が理解できたら，次は小数部分！
(1) $\sqrt{17}$
(2) $2\sqrt{13}$
(3) $\sqrt{26}+1$
(2) $2\sqrt{13}-7$
(3) $\sqrt{26}-5$
小数部分の求め方が分からない人はこれ！
二重根号
√の中に√が入っている『二重根号』をはずす方法をマスターしよう！
(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$
(2) $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$
(3) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$
(2) $2-\sqrt{3}$
(3) $\displaystyle{\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}}$
(3)が難しい！
初見では難しいので，解法を理解しておこう！
対称式
$x+y$，$x^2+y^2$ のように，$x$，$y$ を入れ換えても変わらない式を $x$，$y$ の対称式といい，とくに $x+y$，$xy$ を基本対称式というよ！
対称式は，基本対称式で表せるよ！
(1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$
(4) $x^3+y^3$ (5) $x^5+y^5$
(4) $x^3+y^3=28\sqrt{5}$ (5) $x^5+y^5=440\sqrt{5}$
2⃣(1) $\displaystyle{x^2+\frac{1}{x^2}=7}$ (2) $\displaystyle{x^3+\frac{1}{x^3}=18}$
(3) $\displaystyle{x^4+\frac{1}{x^4}=47}$ (4) $\displaystyle{x-\frac{1}{x}=\pm\sqrt{5}}$
１次不等式
次は『１次不等式』！
楽勝と思っている人も要チェック！
不等式の性質
まずは，１次不等式の基本的な計算から！
(1) $-2x-1<3$
(2) $\displaystyle{\frac{1}{3}x+1≦\frac{1}{2}x}$
(3) $(\sqrt{2}-2)x<2$
(4) $\sqrt{5}x-1<3x$
(2) $\displaystyle{x≧6}$
(3) $\displaystyle{x>-2-\sqrt{2}}$
(4) $\displaystyle{x>-\frac{3+\sqrt{5}}{4}}$
(3) と (4) を間違えた…
１次不等式は自信があったのに…
(3) と (4) は注意して解かないと間違えてしまうね！
不安な人は確認しよう！
連立不等式
連立不等式は，不等式を解いて共通範囲をとる！
(3) 不等式 $3 < 2x-1 < 7$ を解け。
(2) $x ≦ 2$
(2) の解き方忘れてた…
意外と忘れている人が多い不等式だね！
文字係数の１次不等式
文字が含まれる式で割る場合は要注意！
(2) $(a+1)x > a^2-1$
$a=0$ のとき $x$ はすべての実数
$a<0$ のとき $\displaystyle{x > \frac{1}{a}}$
(2) $a>-1$ のとき $x > a-1$
$a=-1$ のとき 解はない
$a>-1$ のとき $x < a-1$
１次不等式の整数解の個数
絶対値
絶対値でつまずく高校生は多い！
基本からしっかり学ぼう！
絶対値をはずす
(1) $|4|$
(2) $|-\frac{1}{3}|$
(3) $|\sqrt{2}-1|$
(4) $|1-\sqrt{3}|$
(2) $\displaystyle{\frac{1}{3}}$
(3) $\displaystyle{\sqrt{2}-1}$
(4) $\displaystyle{\sqrt{3}-1}$
絶対値をはずすときは，絶対値の中の符号が大切だね！
その基本をおさえていないと，応用問題になると困るので要注意！
絶対値を含む方程式・不等式
次は基本的な『絶対値の方程式と不等式』！
(1) $|x|=2$
(2) $|x|<2$
(3) $|x|≧2$
(2) $-2 < x < 2$
(3) $x≦-2，2≦x$
意味を理解して解くことが大切だね！
その通り！
自信がない人はこれ！
少しレベルアップした問題がこれ！
(1) $|x+1|=3$
(2) $|x+1|≦3$
(3) $|x+1|>3$
(2) $-4≦x≦2$
(3) $x < -4，2 < x $
これが解けたら，絶対値の方程式と不等式の基本はばっちり！
場合分けによる絶対値記号のはずし方
場合分けをして絶対値をはずす方法知ってる？
(1) $|x-1|$
(2) $|x+1|+|x-2|$
絶対値の中の符号で場合分けすることがポイントだね！
場合分けが必要な絶対値を含む方程式・不等式
絶対値記号の外にも $x$ があるとき，場合分けが必要！
(1) $|x+1|=2x$
(2) $|2x-6| < x+3$
(3) $|x+1|+|x-2|=x+3$
(2) $1 < x < 9$
(3) $x=0$，$4$
これが解けたら，絶対値の方程式と不等式は完璧！
$\sqrt{A^2}$ の値
間違える人がとても多いのが，$\sqrt{A^2}$ の計算！
下の式をしっかり確認しておこう！
※$\sqrt{A^2}=A$ は間違いなので要注意
(1) $\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}$
(2) $a>0$，$b<0$ のとき，$\sqrt{a^2b^2}$
2⃣ $\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}$ を $x$ の値によって場合分けして簡単にせよ。
(2) $\sqrt{a^2b^2}=-ab$
2⃣ $\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}=\left\{ \begin{array}{lll} -2x+1 (x<-1 のとき) \\ 3 (-1 ≦ x < 2 のとき) \\ 2x-1 (2≦x のとき) \end{array} \right.$
うっかりミスしないように気を付けないとね！
以上が『数と式』のロードマップだよ！
これで『数と式』の基本はばっちりだね！
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