高校数学Ⅰ『２次関数』まとめ（ロードマップ）

　

\begin{eqnarray} (1)　y &=& x^2-2x-1 \\ &=& (x-1)^2-1^2-1\\ &=& (x-1)^2-2 \\\\ &&頂点は　(1，-2) \\\\ (2)　y &=& x^2+x+1 \\ &=& \left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2+1\\ &=& \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4} \\\\ &&頂点は　\left(-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}\right) \\\\ (3)　y &=& 2x^2+4x+1 \\ &=& 2(x^2+2x)+1\\ &=& 2\{(x+1)^2-1^2\}-1\\ &=& 2(x+1)^2-2-1\\ &=& 2(x+1)^2-3 \\\\ &&頂点は　\left(-1，-3\right) \\\\ (4)　y &=& -x^2+2x-3 \\ &=& -(x^2-2x)-3\\ &=& -\{(x-1)^2-1^2\}-3\\ &=& -(x-1)^2+1-3\\ &=& -(x-1)^2-2 \\\\ &&頂点は　(1，-2) \\\\ (5)　y &=& 2x^2+3x+2 \\ &=& 2\left(x^2+\frac{3}{2}x\right)+2\\ &=& 2\left\{\left(x+\frac{3}{4}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2\right\}+2\\ &=& 2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2-\frac{9}{8}+2\\ &=& 2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8} \\\\ &&頂点は　\left(-\frac{3}{4}，\frac{7}{8}\right) \\\\ (6)　y &=& -2x^2+2x+3 \\ &=& -2\left(x^2-x\right)+3\\ &=& -2\left\{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right\}+3\\ &=& -2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}+3\\ &=& -2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{2} \\\\ &&頂点は　\left(\frac{1}{2}，\frac{7}{2}\right) \\\\ (7)　y &=& \frac{1}{2}x^2+x-1 \\ &=& \frac{1}{2}\left(x^2+2x\right)-1\\ &=& \frac{1}{2}\left\{\left(x+1\right)^2-1^2\right\}-1\\ &=& \frac{1}{2}\left(x+1\right)^2-\frac{1}{2}-1\\ &=& \frac{1}{2}\left(x+1\right)^2-\frac{3}{2} \\\\ &&頂点は　\left(-1，-\frac{3}{2}\right) \\\\ (8)　y &=& x^2-2ax+a \\ &=& \left(x-a\right)^2-a^2+a\\ &=& \left(x-a\right)^2-a^2+a \\\\ &&頂点は　\left(a，-a^2+a\right) \\\\ (9)　y &=& ax^2+2ax-2 \\ &=& a(x^2+2x)-2\\ &=& a\{(x+1)^2-1^2\}-2\\ &=& a(x+1)^2-a-2\\\\ &&頂点は　\left(-1，-a-2\right) \\\\ (10)　y &=& x^2-2(a-1)x+1 \\ &=& \{x-(a-1)\}^2-(a-1)^2+1\\ &=& \{x-(a-1)\}^2-a^2+2a \\\\ &&頂点は　(a-1，-a^2+2a) \\\\ \end{eqnarray}

　

　　①について　$y=2(x-1)^2+2$
　　よって，①のグラフの頂点は $(1，2)$

(1)

　　①のグラフの頂点 $(1，2)$ を
　　$x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動すると　$(3，1)$
　　求めるグラフは，①のグラフを平行移動したものであるから
　　$x^2$ の係数は $2$ である

　　よって，求める方程式は　$y=2(x-3)^2+1$

(2)

　　①のグラフの頂点 $(1，2)$ を
　　$x$ 軸方向に $-2$，$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものであるから
　　頂点は $(-1，3)$，$x^2$ の係数は $2$ である

　　よって，求める方程式は　$y=2(x+1)^2+3$

　

(1)　$y-(-1)=2(x-2)^2-4(x-2)+4$　← $x$ を $x-2$，$y$ を $y-(-1)$

　　 これを計算して　$y=2x^2-8x+19$

(2)　求めるグラフは①のグラフを
　 　$x$ 軸方向に $-2$，$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものであるから

　　 $y-1=2(x+2)^2-4(x+2)+4$　← $x$ を $x+2$，$y$ を $y-1$

　　 これを計算して　$y=2x^2+4x+5$

　①について　$y=2(x-1)^2+2$
　よって，①のグラフの頂点は $(1，2)$

(1)　①のグラフの頂点を $x$ 軸に関して対称移動すると　$(1，-2)$
　　グラフの形は下に凸から上に凸に変わるので　$y=-2(x-1)^2-2$

(2)　①のグラフの頂点を $x$ 軸に関して対称移動すると　$(-1，2)$
　　グラフの形は変わらないので　$y=2(x+1)^2+2$

(3)　①のグラフの頂点を原点に関して対称移動すると　$(-1，-2)$
　　グラフの形は下に凸から上に凸に変わるので　$y=-2(x+1)^2-2$

(1)　$-y=2x^2-4x+4$　← $y$ を $-y$ にする
　　これを計算すると　$y=-2x^2+4x-4$

(2)　$y=2(-x)^2-4\cdot(-x)+4$　← $x$ を $-x$ にする
　　これを計算すると　$y=2x^2+4x+4$

(2)　$-y=2(-x)^2-4\cdot(-x)+4$　← $x$ を $-x$，$y$ を $-y$ にする
　　これを計算すると　$y=-2x^2-4x-4$

(1)　$y=(x-2)^2-3$　軸は $x=2$，頂点は $(2，-3)$

$x=0$ で最大値 $1$，$x=2$ で最小値 $-3$

(2)　$y=-(x+1)^2+4$　軸は $x=-1$，頂点は $(-1，4)$

$x=0$ で最大値 $3$，$x=2$ で最小値

　平方完成すると　$y=(x-1)^2-1+c$　となり、軸は直線 $x=1$

　$x=3$ で最大値をとる
　このとき、$x=3$ を代入すると　$y=(3-1)^2-1+c=3+c$
　これが $7$ になるので　$3+c=7$ より　$c=4$

　

　 $f(x)=(x-a)^2-a^2+2$

　軸は 直線 $x=a$，頂点は $(a，-a^2+2)$

　$a<0$ のとき　　　　$x=0$ で最小値 $2$
　$0≦a≦2$ のとき　　$x=a$ で最小値 $-a^2+2$
　$2<a$ のとき　　　　$x=2$ で最小値 $-4a+6$

　$f(x)=(x-a)^2-a^2+2$

　軸は 直線 $x=a$，頂点は $(a，-a^2+2)$

　$a<1$ のとき　　$x=2$ で最大値 $-4a+6$
　$a=1$ のとき　　$x=0，2$ で最大値 $2$
　$1<a$ のとき　　$x=0$ で最大値 $2$　

　$f(x)=(x-2)^2+1$

　軸は 直線 $x=2$，頂点 $(2，1)$

　$0<a<2$ のとき　　$x=a$ で最小値 $a^2-4a+5$
　$2≦a$ のとき　　　$x=2$ で最小値 $1$

　$f(x)=(x-2)^2+1$

　軸は 直線 $x=2$，頂点 $(2，1)$

　$0<a<4$ のとき　　$x=0$ で最大値 $5$
　$a=4$ のとき　　　$x=0，4$ で最大値 $5$
　$4<a$ のとき　　　$x=a$ で最大値 $a^2-4a+5$

　$f(x)=(x-2)^2+1$

　軸は 直線 $x=2$，頂点 $(2，1)$

　$a<0$ のとき　　　$x=a+2$ で最小値 $a^2+1$
　$0≦a≦2$ のとき　　$x=2$ で最小値 $1$
　$2<a$ のとき　　　$x=a$ で最小値 $a^2-4a+5$

　$f(x)=(x-2)^2+1$

　軸は 直線 $x=2$，頂点 $(2，1)$

　$a<1$ のとき　　$x=a$ で最大値 $a^2-4a+5$
　$a=1$ のとき　　$x=1，3$ で最大値 $2$
　$1<a$ のとき　　$a=a+2$ で最大値 $a^2+1$

(1)　頂点が $(2，1)$ より　　$y=a(x-2)^2+1$　($a≠0$) とおくと
　　$(4，5)$ を通るので　　$5=a(4-2)^2+1$　　←「通る」は代入
　　これを解いて　　$a=1$
　　したがって，求める２次関数は　　$y=(x-2)^2+1$

(2)　軸が 直線 $x=1$ より　　$y=a(x-1)^2+q$　($a≠0$) とおくと
　　$(0，1)$ を通るので　　$1=a(0-1)^2+q$
　　　　　　　　　　　　　$a+q=1$　…　①
　　$(3，-2)$ を通るので　　$-2=a(3-1)^2+q$
　　　　　　　　　　　　　　$4a+q=-2$　…　②
　　①，②を解いて　　$a=-1$，$q=2$
　　求める２次関数は　　$y=-(x-1)^2+2$

　$y=ax^2+bx+c$　($a≠0$) とおくと
　$(1，1)$ を通るので　　$a+b+c=1$　…　①
　$(2，6)$ を通るので　　$4a+2b+c=6$　…　②
　$(3，13)$ を通るので　　$9a+3b+c=13$　…　③
　①，②，③を解いて　　$a=1$，$b=2$，$c=-2$
　求める２次関数は　　$y=x^2+2x-2$

問題

　

$$ax^2+bx+c=0$$

$$a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=0$$

$$a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}+c=0$$

$$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c=0$$

$$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$$

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

$$x+\frac{b}{2a}=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=-\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

\begin{eqnarray} (1)　　x &=& \frac{-5±\sqrt{5^2-4・3・(-1)}}{2・3} \\ x &=& \frac{-5±\sqrt{37}}{6} \\\\ (2)　　x &=& \frac{-2±\sqrt{2^2-3・(-1)}}{3} \\ x &=& \frac{-2±\sqrt{7}}{3} \\\\ (3)　　x &=& 1\pm\sqrt{1^2-(-1)} \\ x &=& 1\pm\sqrt{2} \\\\ \end{eqnarray}

(1)　$x^2+(a-2)x-2a=0$
　　　　$(x-2)(x+a)=0$
　　　　　　　　　　　$x=2，-a$

(2)　$a^2x-a=2ax$ より　　$a(a-2)x=a$
　(ア)　$a=0$ のとき，この方程式は　　$0\cdot x=0$
　　よって，すべての $x$ で成り立つから，解はすべての実数
　(イ)　$a=2$ のとき，この方程式は　　$0\cdot x=2$
　　この式は成り立たないから，解はない
　(ウ)　$a≠0，2$ のとき　　$\displaystyle{x=\frac{1}{a-2}}$
　(ア)～(ウ) より

\begin{align} & \left\{ \begin{array}{lll} a=0 のとき　　すべての実数 \\ a=2 のとき　　解なし \\ a≠0，2 のとき　　x=\frac{1}{a-2} \end{array} \right. \end{align}

(3)　$ax^2-x-a=0$
　(ア)　$a=0$ のとき，この方程式は　　$-x=0$
　　　これを解くと　　$x=0$
　(イ)　$a≠0$ のとき，解の公式より
　　　$\displaystyle{x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot a\cdot(-a)}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{4a^2+1}}{2a}}$
　　　$4a^2+1>0$ より，これは解として適する
　(ア)～(イ) より

\begin{align} & \left\{ \begin{array}{ll} a=0 のとき　　x=0 \\ a≠0 のとき　　x=\frac{1\pm\sqrt{4a^2+1}}{2a} \end{array} \right. \end{align}

(1)　２次方程式 $x^2-3x+k=0$ の判別式を $D$ とすると
　　　　　$D=(-3)^2-4・1・k=9-4k$
　　$D>0$ より　　$9-4k>0$
　　　　　　　　　　　　$\displaystyle{k<\frac{9}{4}}$

(2)　$D<0$ より　　$9-4k<0$
　　　　　　　　　　　　$\displaystyle{k>\frac{9}{4}}$

　２次方程式 $x^2-6x+k=0$ の判別式を $D$ とすると
　　　　　　$D=(-6)^2-4・1・k=36-4k$
　$D=0$ より　　$36-4k=0$
　　　　　　　　　　　　$k=9$
　このとき　　$x^2-6x+9=0$
　　　　　　　　　$(x-3)^2=0$
　　　　　　　　　　　　$x=3$

(1)　$y=0$ を代入した２次方程式 $x^2-3x+k=0$ の判別式を $D$ とすると
　　　　　$D=(-3)^2-4・1・k=9-4k$
　　$D>0$ より　　$9-4k>0$
　　　　　　　　　　　　$\displaystyle{k<\frac{9}{4}}$

(2)　$D<0$ より　　$9-4k<0$
　　　　　　　　　　　　$\displaystyle{k>\frac{9}{4}}$

　$y=0$ を代入した２次方程式 $x^2-6x+k=0$ の判別式を $D$ とすると
　　　　　　$D=(-6)^2-4・1・k=36-4k$
　$D=0$ より　　$36-4k=0$
　　　　　　　　　　　　$k=9$
　このとき　　$x^2-6x+9=0$
　　　　　　　　　$(x-3)^2=0$
　　　　　　　　　　　　$x=3$

　平方完成すると　　$\displaystyle{y=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+k}$
　頂点は　$\displaystyle{\left(\frac{3}{2}，-\frac{9}{4}+k\right)}$
　異なる２点交わるとき，頂点の $y$ 座標は負なので　　$\displaystyle{-\frac{9}{4}+k<0}$
　これを解いて　　$\displaystyle{k<\frac{9}{4}}$

(1)　$a$ の正負 ➡ 　上に凸か下に凸か
　　グラフは上に凸なので $a$ は負

(2)　$b$ の正負　➡　軸 $\displaystyle{x=-\frac{b}{2a}}$ の位置
　　軸 $\displaystyle{-\frac{b}{2a}}$ は負で $a$ は負なので $b$ は負

(3)　$c$ の正負　➡　$y$ 軸との交点の座標
　　グラフは $y$ 軸と正の部分で交わるので $c$ は正

(4)　$b^2-4ac$ の正負　➡　グラフと $x$ 軸の共有点の個数
　　$b^2-4ac$ は判別式 $D$ で、異なる２点で交わっているので $b^2-4ac$ は正

(5)　$a+b+c$ の正負　➡　$x=1$ のときの $y$ 座標
　　グラフは $x=1$ のとき $x$ 軸より下なので $a+b+c$ は負

(6)　$a-b+c$ の正負　➡　$x=-1$ のときの $y$ 座標
　　グラフは $x=-1$ のとき $x$ 軸より上なので $a+b+c$ は正

　切り取る線分の長さは　$\displaystyle{\frac{\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot(-3)}}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2}}$

(1)　$x^2-x-2>0$

(2)　$x^2-x-2<0$

(3)　$x^2-x-1<0$

(4)　$-x^2+2x+1≧0$

(1)　$x^2-4x+4>0$

(2)　$x^2-4x+4≧0$

(3)　$x^2-4x+4<0$

(4)　$x^2-4x+4≦0$

２次関数 $y=x^2-2x+3$ について平方完成すると　$y=(x-1)^2+2$
頂点は $(1，2)$ より，２次関数 $y=x^2-2x+3$ は $x$ 軸と交わらない
※判別式 $D=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=-8<0$ でも $x$ 軸と交わらないことが説明できる

　下に凸なので　$k-2>0$　すなわち　$k>2$　…　①
　$(k-2)x^2+2(k-1)x+3k-5=0$ の判別式を $D$ とすると
　グラフが $x$ 軸と交わらないので　$D<0$
　　　$\displaystyle{\frac{D}{4}=(k-1)^2-(k-2)(3k-5)=-2k^2+9k-9=-(2k-3)(k-3)}$
　$D<0$ より　　$-(2k-3)(k-3)<0$　すなわち　$(2k-3)(k-3)>0$
　これを解いて　　$\displaystyle{\frac{3}{2}<k<3}$　…　②
　①，②の共通範囲をとって　$2<k<3$

(1)　$x^2-(2a+1)x+a^2+a>0$

(2)　$x^2-(a+1)x+a<0$

　左辺を因数分解すると　　$(x-a)(x-1)<0$　　←$a$ と $1$ の大小関係で場合分け

　[1]　$a<1$ のとき　　$a<x<1$
　[2]　$a=1$ のとき　　$(x-1)^2<0$ より　解はない
　[3]　$1<a$ のとき　　$1<x<a$

(3)　$ax^2-ax-2a>0$

　左辺を因数分解すると　　$a(x^2-x-2)>0$

　　　　　　　　　　　　　$a(x+1)(x-2)>0$

　[1]　$a>0$ のとき　　$x<-1$，$2<x$
　[2]　$a=0$ のとき　　$0>0$ より　解はない
　[3]　$a<0$ のとき　　$-1<x<2$

[1]　$x$ 軸と異なる２つの共有点をもつ
　$f(x)=0$ の判別式を $D$ とすると
　　　$\displaystyle{\frac{D}{4}=a^2-(-a+2)=(a-1)(a+2)}$
　$D>0$ より　　$a<-2$，$1<a$　…　①

[2]　軸が $x>0$ の部分にある
　$y=f(x)$ の軸は直線 $x=a$ であるから　$a>0$　…　②

[3]　$x=0$ における $y$ 座標が正
　$f(0)>0$ であるから　$f(0)=-a+2>0$
　よって　$a<2$　…　③

①～③の共通範囲をとって　　$1<a<2$