文字が含まれる絶対値

苦手な高校生が多い『絶対値』

文字が入っているとさらに難しい！

『絶対値』が『原点からの距離を表している』ことを使えば，

文字が含まれていても『絶対値』は簡単にはずすことができる！

この記事を読めば，『絶対値』 の応用問題にもチャレンジできるようになる！

　

絶対値のはずし方の基本

　

文字が含まれる絶対値のはずし方

●　絶対値の中が正の場合

　$x-1≧0$ すなわち　$x≧1$ のとき

$|x-1|=x-1$

絶対値の中が正だからそのままはずす

●　絶対値の中が負の場合

　$x-1<0$ すなわち　$x<1$ のとき

$|x-1|=-(x-1)=-x+1$

絶対値の中が負だからマイナスをつけてはずす

　まとめると

$x≧1$ のとき　$|x-1|=x-1$

$x<1$ のとき　$|x-1|=-x+1$

　

補足

$|0|=0$

　絶対値の中が $0$ の場合は絶対値がそのままはずれるので，

　絶対値が正の場合の方に 『$=$』をつけるのが一般的

　

　$x+1≧0$　すなわち　$x≧-1$ のとき

$|x+1|=x+1$

　$x+1<0$　すなわち　$x<-1$ のとき

$|x+1|=-(x+1)=-x-1$

　よって

$x≧-1$ のとき　$|x+1|=x+1$

$x<-1$ のとき　$|x+1|=-x-1$

　

　

　$2x-1≧0$　すなわち　$\displaystyle{x≧\frac{1}{2}}$ のとき

$|2x-1|=2x-1$

　$2x-1<0$　すなわち　$\displaystyle{x<\frac{1}{2}}$ のとき

$|2x-1|=-(2x-1)=-2x+1$

　よって

$\displaystyle{x≧\frac{1}{2}}$ のとき　$|2x-1|=2x-1$

$\displaystyle{x<\frac{1}{2}}$ のとき　$|2x-1|=-2x+1$

まとめ

絶対値の中に文字が含まれているときは、
絶対値の中が「正」のときと「負」のときで場合分けして絶対値をはずす

絶対値の中が「正」のときはそのままはずす
絶対値の中が「負」のときはマイナスをつけてはずす

$$|a|=\begin{cases}a & ( a≧0 ) \\-a & ( a<0 )\end{cases}$$

　

問題

(1)　$|x-2|$

　$x-2≧0$　すなわち　$x≧2$ のとき

$|x-2|=x-2$

　$x-2<0$　すなわち　$x<2$ のとき

$|x-2|=-(x-2)=-x+2$

　よって

$x≧2$ のとき　$|x-2|=x-2$

$x<2$ のとき　$|x-2|=-x+2$

　

(2)　$|3x+1|$

　$3x+1≧0$　すなわち　$\displaystyle{x≧-\frac{1}{3}}$ のとき

$|3x+1|=3x+1$

　$3x+1<0$　すなわち　$\displaystyle{x<-\frac{1}{3}}$ のとき

$|3x+1|=-(3x+1)=-3x-1$

　よって

$\displaystyle{x≧-\frac{1}{3}}$ のとき　$|3x+1|=3x+1$

$\displaystyle{x<-\frac{1}{3}}$ のとき　$|3x+1|=-3x-1$

　

(3)　$|1-x|$

　$1-x≧0$　すなわち　$x≦1$ のとき

$|1-x|=1-x$

　$1-x<0$　すなわち　$x>1$ のとき

$|1-x|=-(1-x)=-1+x$

　よって

$x≦1$ のとき　$|1-x|=1-x$

$x>1$ のとき　$|1-x|=-1+x$