文字係数の１次不等式

文字係数の１次不等式とは

　

この問題のように，$x$ の係数に文字が含まれている１次不等式を，『文字係数の１次不等式』といいます。この問題を解くときには，場合分けが必要です。なぜ場合分けが必要なのか考えてみましょう。

不等式の両辺を割る場合の注意点

　

正の数で両辺を割る場合は不等号の向きは変わらない

$$2x<4　⇔　x<2$$

　

負の数で両辺を割る場合は不等号の向きは変わる

$$-2x<4　⇔　x>-2$$

　

正の数で割る場合と負の数で割る場合は，不等号の向きの考え方が異なる。

『両辺を $a$ で割る』というのは，
$a$ の値が正の数なら不等号の向きが変わらず，負の数なら不等号の向きが変わる，といったように，$a$ の値によって計算結果が異なる。

つまり，$a$ の値について場合分けをして計算する必要がある。

場合分けの考え方

　

　

　

[1] $a>0$ のとき

$ax<1$

$x$$<$$\displaystyle{\frac{1}{a}}$

両辺を $a$（正の数）で割るので不等号の向きは変わらない

[2] $a=0$ のとき

$$0\cdot x<1$$

$0$ で割ることはできないためこれ以上式変形を考えません

$x$ にどのような値を代入しても左辺は必ず $0$，右辺は $1$ であるため，$0<1$ となり，常に不等式が成り立ちます。

よって，この不等式の解は『$x$ はすべての実数』になります

[3] $a<0$ のとき

$ax<1$

$x$$>$$\displaystyle{\frac{1}{a}}$

両辺を $a$（負の数）で割るので不等号の向きは変わる

[1]，[2]，[3] より，答えをまとめると

\begin{eqnarray} && a>0　のとき　x<\frac{1}{a} \\\\ && a=0　のとき　xはすべての実数 \\\\ && a<0　のとき　x>\frac{1}{a} \end{eqnarray}

問題演習

　

　

[1] $a+1>0$ すなわち $a>-1$ のとき

\begin{eqnarray} (a+1)x & > & a^2-1 \\\\ (a+1)x & > & (a+1)(a-1) \\\\ x & > & a-1 \end{eqnarray}

両辺を $a+1$（正の数）で割るので不等号の向きは変わらない

[2] $a+1=0$ すなわち $a=-1$ のとき

$$0\cdot x>0$$

$x$ にどのような値を代入しても左辺は必ず $0$，右辺は $0$ であるため，$0>0$ となり，常に不等式が成り立ちません。

よって，この不等式の解は『解はない』になります

[3] $a+1<0$ すなわち $a<-1$ のとき

\begin{eqnarray} (a+1)x & > & a^2-1 \\\\ (a+1)x & > & (a+1)(a-1) \\\\ x & < & a-1 \end{eqnarray}

両辺を $a+1$（負の数）で割るので不等号の向きは変わる

[1]，[2]，[3] より，答えをまとめると

\begin{eqnarray} && a > -1　のとき　x > a-1 \\\\ && a=-1　のとき　解はない \\\\ && a < -1　のとき　x < a-1 \end{eqnarray}

　

　

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🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要！
🔴応用…場合分けなど思考力が要求される！