２次不等式の応用編『文字係数の２次不等式』についてわかりやすく解説しました！
一見難しそうに見えますが、因数分解と２次不等式の基本（２次関数のグラフを用いて解くこと）がわかれば理解することができます！
２次不等式の基本的な問題が解ける人はチャレンジしてみましょう！
問題
(1) $x^2-(2a+1)x+a^2+a>0$
(2) $x^2-(a+1)x+a<0$
(3) $ax^2-ax-2a>0$
(1) $x^2-(2a+1)x+a^2+a>0$
式変形して $x^2-(2a+1)x+a(a+1)>0$
左辺を因数分解すると $(x-a)\{x-(a+1)\}>0$
$a<a+1$ より $x<a$，$a+1<x$
(2) $x^2-(a+1)x+a<0$
左辺を因数分解すると $(x-a)(x-1)<0$ ←$a$ と $1$ の大小関係で場合分け
[1] $a<1$ のとき $a<x<1$
[2] $a=1$ のとき $(x-1)^2<0$ より 解はない
[3] $1<a$ のとき $1<x<a$
(3) $ax^2-ax-2a>0$
左辺を因数分解すると $a(x^2-x-2)>0$
$a(x+1)(x-2)>0$
[1] $a>0$ のとき $x<-1$，$2<x$
[2] $a=0$ のとき $0>0$ より 解はない
[3] $a<0$ のとき $-1<x<2$
文字係数の２次不等式｜文字の大小を判断
(1) $x^2-(2a+1)x+a^2+a>0$
(1)
定数項を因数分解して $x^2-(2a+1)x+a(a+1)>0$
左辺を因数分解すると（たすき掛け）
$(x-a)\{x-(a+1)\}>0$
$a$ と $a+1$ の大小を比較すると $a<a+1$
（$a$ に $1$ を足したのが $a+1$ なので）
$x<a$，$a+1<x$
文字係数の２次不等式｜文字の大小で場合分け
(2) $x^2-(a+1)x+a<0$
(2)
左辺を因数分解すると $(x-a)(x-1)<0$
$a$ と $1$ の大小関係で場合分け
[1] $a$ が $1$ より小さいとき（$a<1$）
[2] $a$ が $1$ と等しいとき （$a=1$）
[3] $a$ が $1$ より大きいとき（$1>a$）
[1] $a<1$ のとき $a<x<1$
[2] $a=1$ のとき $(x-1)^2<0$ より 解はない
[3] $1<a$ のとき $1<x<a$
※$a$ と $1$ の大小関係で図が異なる
文字係数の２次不等式｜文字の正負で場合分け
(3) $ax^2-ax-2a>0$
(3)
左辺を因数分解すると $a(x^2-x-2)>0$
$a(x+1)(x-2)>0$
$a$ の符号で場合分け
[1] $a$ が正のとき（下に凸の２次関数）
[2] $a$ が $0$ のとき（左辺が $0$）
[3] $a$ が負のとき（上に凸の２次関数）
[1] $a>0$ のとき $x<-1$，$2<x$
[2] $a=0$ のとき $0>0$ より 解はない
[3] $a<0$ のとき $-1<x<2$
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