極値の条件から関数の決定

$x=a$ で極値をとるための条件

　

　導関数 $f'(x)$ を求めると

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

　$f'(x)=0$ を求めると

$3x(x-2)=0$

$x=0，2$

　$f'(x)$ のグラフをかくと

　増減表をかくと

　したがって

$x=0$ で極大値 $3$

$x=2$ で極小値 $-1$

　このとき

$x=0，2$ における $f'(x)$ の値は $0$ になっている

　

　

　

　導関数 $f'(x)$ を求めると

$f'(x)=3x^2$

　$f'(x)=0$ を求めると

$3x^2=0$

$x=0$

　$f'(x)$ のグラフをかくと

　増減表をかくと

　関数 $f(x)$ は常に増加する

　つまり，増減が入れかわらないので

$f(x)$ は極値をもたない

　関数 $f(x)=x^3$ は

　$f'(0)=0$ であるが，$x=0$ で極値をもたない

　ことがわかる

問題

　関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ を微分すると

$f'(x)=3x^2+2ax+b$

　関数 $f(x)$ が $x=1$ で極大値 $4$ をとるとき

$f'(1)=0$，$f(1)=4$

　$f'(1)=0$ より

$3\cdot1^2+2a\cdot1+b=0$

$2a+b=-3$　$\cdots\cdots$　①

　$f(1)=4$ より

$1^3+a\cdot1^2+b\cdot1=4$

$a+b=3$ 　$\cdots\cdots$　②

　①，②を解いて

$a=-6$，$b=9$

　このとき

$f(x)=x^3-6x^2+9x$

$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$

　$f'(x)=0$ のとき

$3(x-1)(x-3)=0$

$x=1，3$

　$f'(x)$ のグラフは

　増減表をかくと

$x=3$ で極小値 $0$ をとる

まとめ

● 極値の条件から関数の決定

　関数 $f(x)$ が $x=a$ で極値をもつならば，$f'(x)=0$ である

　逆「$f'(a)=0$ ならば，関数 $f(x)$ が $x=a$ で極値をもつ」は成り立たない