漸化式③

漸化式とは

漸化式 … 前の項から次の項を求めるための関係式

数列において，初項と隣り合う $2$ 項間の関係（漸化式）が分かれば，すべての項が定まる

例えば

\begin{eqnarray} &[1]&　a_1=1 \\\\ &[2]&　a_{n+1}=2a_n　(n=1，2，3，\cdots\cdots) \end{eqnarray}

　$[2]$ の式に $n=1$ を代入すると

$a_2=2a_1=2\cdot1=2$

　$[2]$ の式に $n=2$ を代入すると

$a_3=2a_2=2\cdot2=4$

　$[2]$ の式に $n=3$ を代入すると

$a_4=2a_3=2\cdot4=8$

というように，漸化式により前後の関係が分かれば，初項から次の項を順に求めることができる

漸化式の基本パターン

　

①と②について詳しくはこれ↓

漸化式①

漸化式の基本！等差数列と等比数列の漸化式をマスターしよう！

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2021.09.15

③について詳しくはこれ↓

漸化式②

漸化式の基本！階差数列から一般項を求めよう！

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2021.10.27

④　$a_{n+1}=pa_n+q$

式変形の方法

\begin{eqnarray} a_{n+1} &=& pa_n+q \\ -\large{)}　c &=& cp+q　\cdots\cdots　①\\ \hline a_{n+1}-c &=& p(a_n-c) \end{eqnarray}

$a_n$ と $a_{n+1}$ を $c$ に置き換えた式①を解くと，$c$ の値が求まる

式①のことを　特性方程式　という

手順をまとめると以下の通り

　

　

　(1)　$a_{n+1}=2a_n-3$

　　　$c=2c-3$ を解くと　　$c=3$

　　　$a_{n+1}=2a_n-3$ を式変形すると

$a_{n+1}-3=2(a_n-3)$

　　　もとの式と等しいか確認すると

$a_{n+1}-3=2(a_n-3)$

$a_{n+1}-3=2a_n-6$

$a_{n+1}=2a_n-3$

　(2)　$a_{n+1}=-3a_n-4$

　　　$c=-3c-4$ を解くと　　$c=-1$

　　　$a_{n+1}=-3a_n-4$ を式変形すると

$a_{n+1}+1=-3(a_n+1)$

　　　もとの式と等しいか確認すると

$a_{n+1}+1=-3(a_n+1)$

$a_{n+1}+1=-3a_n-3$

$a_{n+1}=-3a_n-4$

　

　

問題

１　$a_{n+1}=3a_n-4$　を　$a_{n+1}-c=p(a_n-c)$　に式変形する

　　$c=3c-4$ を解くと　　$c=2$

　　よって

$a_{n+1}-2=3(a_n-2)$

２　$a_n-c$ を $b_n$ に置き換える

　　$a_n-2=b_n$ とすると，$a_{n+1}-2=b_{n+1}$ なので

$b_{n+1}=3b_n$

３　$b_{n+1}=pb_n$ を解いて $b_n$ を求める

　　$a_n-2=b_n$ より

$b_1=a_1-2=3-2=1$

　　$b_{n+1}=3b_n$ より，数列 $\{b_n\}$ は初項 $1$，公比 $3$ の等比数列

$b_n=1\cdot3^{n-1}=3^{n-1}$

４　$a_n-c=b_n$ を用いて $a_n$ を求める

　　$a_n-2=b_n$ より

$a_n-2=3^{n-1}$

$a_n=3^{n-1}+2$

　

まとめ

● 漸化式とは

　数列において前の項から次の項を求めるための関係式

● 漸化式の基本パターン

　①　$a_{n+1}=a_n+d$　公差 $d$ の等差数列

　②　$a_{n+1}=ra_n$　　公比 $r$ の等比数列

　③　$a_{n+1}=a_n+(nの式)$　　($n$ の式)が $\{a_n\}$ の階差数列

　④　$a_{n+1}=pa_n+q$

　　　１　$a_{n+1}=pa_n+q$　を　$a_{n+1}-c=p(a_n-c)$　に式変形する

　　　　　$c$ の値は $c=pc+q$（特性方程式）を解くと求まる

　　　２　$a_n-c$ を $b_n$ に置き換える

　　　３　$b_{n+1}=pb_n$ を解いて $b_n$ を求める

　　　４　$a_n-c=b_n$ を用いて $a_n$ を求める