独立な試行の確率

独立な試行とは

どの試行の結果も他の試行の結果に影響を与えないとき

これらの試行は　独立　という

例えば，

さいころを２回投げるときの１回目の試行と２回目の試行

独立な試行の確率

偶数が出る確率は　$\displaystyle{\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}$

３の倍数が出る確率は　$\displaystyle{\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}$

１回目の試行と２回目の試行は独立なので

　$\displaystyle{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}}$

【場合の数の考え方で解いても同じ】

さいころを２回投げるとき　$6\times6$ (通り)

偶数がでるのは　$3$ 通り

３の倍数が出るのは　$2$ 通り

１回目に偶数，２回目に３の倍数が出るのは　$3\times2$ (通り)

よって　$\displaystyle{\frac{3\times2}{6\times6}=\frac{1}{6}}$

まとめ

● 独立な試行とは

　互いに影響を及ぼさない試行

● 独立な試行の確率（独立な試行なら確率をかける）

　２つの独立な試行 $S$ と $T$ がある。
　$S$ で事象 $A$ が起こり，$T$ で事象 $B$ が起こる確率は
　$(A の確率)\times(B の確率)$
　３つ以上についても同様

問題

(1)　コインを３回投げるとき，３回とも表が出る

コインを１回投げて表が出る確率は　$\displaystyle{\frac{1}{2}}$

それぞれの試行は独立なので　$\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}}$

(2)　さいころを４回投げるとき，４回とも３の倍数が出る

さいころを１回投げて３の倍数が出る確率は　$\displaystyle{\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}$

それぞれの試行は独立なので　$\displaystyle{\left(\frac{1}{3}\right)^4=\frac{1}{81}}$

(3)　$A$ の袋に赤玉２個と白玉１個，$B$ の袋に赤玉１個と白玉２個が入っており，$A$，$B$ の袋から１個ずつ玉を取り出すとき，ともに赤色である

$A$ の袋から赤玉を取り出す確率は　$\displaystyle{\frac{2}{3}}$

$B$ の袋から赤玉を取り出す確率は　$\displaystyle{\frac{1}{3}}$

それぞれの試行は独立なので　$\displaystyle{\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}}$