直線と平面の交点のベクトル（四面体）

直線上の点

　

　$\overrightarrow{OA}$ を $k$ 倍に拡大または縮小したベクトルが $\overrightarrow{OB}$ なので

$\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OA}$

平面上の点

　

$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$

　

平面 $ABC$ における点 $A$ を始点とする $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$ を用いると

同じ平面上にある点 $P$ について，$\overrightarrow{AP}$ は

$\overrightarrow{AP}=\square \overrightarrow{AB}+\square \overrightarrow{AC}$

と１通りに表すことができる

　

始点を $B$ や $C$ にしてもよい

例えば

$\overrightarrow{CP}=s\overrightarrow{CA}+t\overrightarrow{CB}$

のように表すことができる

詳しくはこれ↓

同一平面上にある点

３点でつくられる平面上にある点に関してベクトルの式を作って問題を解こう！

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2021.09.23

四面体

四面体　$\cdots \cdots$　$4$ つの三角形でできる立体

すべての三角形が正三角形の場合は　正四面体

直線と平面の交点のベクトル

四面体に関する問題

　

　

　

　点 $P$ は直線 $OF$ 上にあるので，

$\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OF}$

　となる実数 $k$ がある

　ここで，

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OD}& =& \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\\ \\ & =& \frac{1}{2}\overrightarrow{a}\end{array}$$

　また，

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OE}& =& \frac{\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}}{2+1}\\ \\ & =& \frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}\end{array}$$

　以上より，

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OF}& =& \frac{\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}}{2}\\ \\ & =& \frac{\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}}{2}\\ \\ & =& \frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}\end{array}$$

　よって，

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& =& k\overrightarrow{OF}\\ \\ & =& k(\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c})\\ \\ & =& \frac{1}{4}k\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}k\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}k\overrightarrow{c} \cdots \cdots \mathrm{①}\end{array}$$

　点 $P$ は平面 $ABC$ 上にあるので，

$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$

　となる実数 $s$，$t$ がある

　よって，

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& =& \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\\ \\ & =& \overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\\ \\ & =& \overrightarrow{a}+s(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+t(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\\ \\ & =& (1-s-t)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c} \cdots \cdots \mathrm{②}\end{array}$$

　$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$ は１次独立なので，

　（$O$，$A$，$B$，$C$ は同じ平面上にないので）

　$\overrightarrow{OP}$ の表し方はただ１通りである

　①，②より

${\displaystyle \frac{1}{4}k=1-s-t}$，　${\displaystyle \frac{1}{6}k=s}$，　${\displaystyle \frac{1}{3}k=t}$

　 ${\displaystyle \frac{1}{6}k=s}$，　${\displaystyle \frac{1}{3}k=t}$ 　を　 ${\displaystyle \frac{1}{4}k=1-s-t}$ 　に代入すると

${\displaystyle \frac{1}{4}k=1-\frac{1}{6}k-\frac{1}{3}k}$

${\displaystyle k=\frac{4}{3}}$

　①に代入すると

${\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{9}\overrightarrow{b}+\frac{4}{9}\overrightarrow{c}}$

　

まとめ

● 直線上の点

　直線 $OA$ 上に点 $B$ があるとき，実数 $k$ を用いて

$\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OA}$

　と表すことができる

● 平面上の点

　平面 $ABC$ 上に点 $P$ があるとき

$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$

　を満たす実数 $s$，$t$ が存在する

● 直線と平面の交点におけるベクトル

　求めたいベクトルを２通りで表して係数比較して解く