確率の乗法定理

確率の乗法定理ってどういうときに使うの？

袋の中の玉を取り出す問題で，

「取り出した玉を袋に戻さない」ような

「１回１回の試行の状況が変わる問題のとき」

に使うよ！

条件付き確率
確率の乗法定理
確率の乗法定理の使い方
まとめ
問題

条件付き確率

確率の乗法定理は条件付き確率の式から求まるよ！

まずは，条件付き確率を復習しよう！

条件付き確率の復習はこれ↓

条件付き確率

A のとき B である条件付き確率を求める方法をマスターしよう！「場合の数」を用いた解き方と「確率」を用いた解き方がある！

条件付き確率の求め方

$A$ であるとき，$B$ である条件付き確率は

　　$\displaystyle{\frac{A \cap B である確率}{A である確率}}$

この式から確率の乗法定理が求まるよ！

確率の乗法定理

$\displaystyle{(AのときBである条件付き確率)=\frac{A \cap B である確率}{A である確率}}$

を式変形すると

$(A \cap B である確率)=(A である確率)\times(AのときBである条件付き確率)$

この式が確率の乗法定理である

確率の乗法定理

$(A \cap B である確率)=(A である確率)\times(AのときBである条件付き確率)$

この式はどうやって使うのかな？

確率の乗法定理の使い方

確率の乗法定理の使い方を学ぼう！

赤玉３個と白玉２個入っている袋から，玉を１個ずつ２個取り出す。取り出した玉を袋に戻さないとき，赤玉を２個取り出す確率を求めよ。

１回目に赤玉を取り出す事象を $A$
２回目に赤玉を取り出す事象を $B$
とすると

$A$ の確率は　$\displaystyle{\frac{3}{5}}$

$A$ のとき，$B$ である条件付き確率は
(１回目赤のとき，２回目が赤である条件付き確率)
１回目に赤玉を取り出した袋（赤２白２）から
赤玉を取り出す確率なので　$\displaystyle{\frac{2}{4}}$

１回目に赤玉を取り出す　かつ　２回目に赤玉を取り出す　確率は
確率の乗法定理より
$(A \cap B である確率)=$$(A である確率)$$\times$$(AのときBである条件付き確率)$

すなわち　$\displaystyle{\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}}$

玉を袋に戻さないので，

２回目の確率は１回目に何を取り出したか（条件）によって変わる！

１回目に赤を取り出したとき，(袋の中は赤２白２）
２回目に赤を取り出す条件付き確率は　$\displaystyle{\frac{2}{4}}$

１回目に白を取り出したとき，(袋の中は赤３白１）
２回目に赤を取り出す条件付き確率は　$\displaystyle{\frac{3}{4}}$

袋の中の状況を１回１回確認することが大切だね！

赤玉３個と白玉２個入っている袋から，玉を１個ずつ２個取り出す。取り出した玉を袋に戻さないとき，２回目に赤玉を取り出す確率を求めよ。

２回目に赤玉を取り出す事象は以下の２通り

[1]　１回目に赤，２回目に赤

　$\displaystyle{\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{6}{20}}$

[2]　１回目に白，２回目に赤

　$\displaystyle{\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{20}}$

[1] と [2] は互いに排反なので

　$\displaystyle{\frac{6}{20}+\frac{6}{20}=\frac{3}{5}}$

「互いに排反」の復習はこれ↓

確率の加法定理

互いに排反な（同時に起こらない）ときは確率を足そう！確率の加法定理をマスターしよう！

１回目に赤が出るか白が出るかで分けて考えよう！

赤玉３個と白玉２個入っている袋から，玉を１個ずつ３個取り出す。取り出した玉を袋に戻さないとき，３個とも赤玉を取り出す確率を求めよ。

１回目に赤玉　$\displaystyle{\frac{3}{5}}$

１回目赤玉のとき，（袋の中は赤２白２）
２回目に赤玉である条件付き確率　$\displaystyle{\frac{2}{4}}$

１回目赤玉，２回目赤玉のとき，（袋の中は赤１白２）
３回目に赤玉である条件付き確率　$\displaystyle{\frac{1}{3}}$

$\displaystyle{\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{10}}$

取り出す個数が増えても，同じように解けるね！

まとめ

● 確率の乗法定理

　$(A \cap B である確率)=(A である確率)\times(AのときBである条件付き確率)$

● 確率の乗法定理を使う問題

　１回１回の試行で状況が変わる問題

　　ex．玉を取り出して袋に戻さない

問題

赤玉４個と白玉２個入っている袋から，玉を１個ずつ２個取り出す。取り出した玉を袋に戻さないとき，次の確率を求めよ。
(1)　１回目に赤玉，２回目に白玉を取り出す
(2)　２回目に白玉を取り出す

(1)　１回目に赤玉，２回目に白玉を取り出す

　$\displaystyle{\frac{4}{6}\times\frac{2}{5}=\frac{8}{30}}$

(2)　２回目に白玉を取り出す

２回目に白玉を取り出す事象は，以下の２通り

[1]　１回目に赤玉，２回目に白玉

　(1) より　$\displaystyle{\frac{8}{30}}$

[2]　１回目に白玉，２回目に白玉

　$\displaystyle{\frac{2}{6}\times\frac{1}{5}=\frac{2}{30}}$

[1] と [2] は互いに排反なので

　$\displaystyle{\frac{8}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{3}}$

１回１回の状況を確認すれば解ける！