確率の求め方
確率のよく出題される試行
コインを投げる
コイン１枚に対して，表と裏の２通りの出方がある
２枚同時に投げるので，すべての場合の数は
積の法則より $2\times2=4$ (通り)
２枚とも表になるのは $1$ (通り)
求める確率は $\displaystyle{\frac{1}{4}}$
コイン２枚の出方は
$(オ，オ)$
$(オ，ウ)$
$(ウ，オ)$
$(ウ，ウ)$
３枚同時に投げるので，すべての場合の数は
積の法則より $2\times2\times2=8$ (通り)
コイン３枚の出方は
$(オ，オ，オ)$
$(オ，オ，ウ)$
$(オ，ウ，オ)$
$(ウ，オ，オ)$
$(オ，ウ，ウ)$
$(ウ，ウ，オ)$
$(ウ，オ，ウ)$
$(ウ，ウ，ウ)$
１枚だけ表が出るのは $3$ (通り)
求める確率は $\displaystyle{\frac{3}{8}}$
さいころを投げる
さいころ１個に対して，６通りの出方がある
２個同時に投げるので，すべての場合の数は
積の法則より $6\times6=36$ (通り)
目の和が４になるのは
$(1，3)$，$(2，2)$，$(3，1)$
の $3$ (通り)
求める確率は $\displaystyle{\frac{3}{36}=\frac{1}{12}}$
３個同時に投げるので，すべての場合の数は
積の法則より $6\times6\times6=216$ (通り)
すべて同じ目になるのは
$(1，1，1)$，$(2，2，2)$，$(3，3，3)$，
$(4，4，4)$，$(5，5，5)$，$(6，6，6)$
の $6$ (通り)
求める確率は $\displaystyle{\frac{6}{216}=\frac{1}{36}}$
袋から玉を取り出す
袋から玉を取り出す問題で注意しないといけないのは「玉を区別する」こと！
赤玉が３個ある場合は「赤①」「赤②」「赤③」と番号を振ろう！
袋の中には玉が５個
「赤①」「赤②」「赤③」「白①」「白②」
入っているので，
玉の取り出し方は全部で $5$ (通り)
赤玉は３個あるので，
赤玉の取り出し方は $3$ (通り)
求める確率は $\displaystyle{\frac{3}{5}}$
袋の中には赤玉と白玉の２種類しかないから $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ と答えないように注意しよう！
赤玉を取り出す確率 $\displaystyle{\frac{3}{5}}$
白玉を取り出す確率 $\displaystyle{\frac{2}{5}}$
当然，赤玉の個数が多いので，赤を取り出す確率の方が高い
順列を使った確率の問題
順列の復習はこれ↓
４人全員の並べ方は $4!$ (通り)
$A$ が１番目，$B$ が４番目のとき，
残りの２人 $C，D$ を２番目と３番目に
並べる並び方は $2!$ (通り)
求める確率は 求める確率は $\displaystyle{\frac{2!}{4!}=\frac{1}{12}}$
組合せを使った確率の問題
組合せの復習はこれ↓
(1) ２個とも赤玉を取り出す確率
(2) 赤玉１個，白玉１個取り出す確率
(1) ２個とも赤玉を取り出す確率
袋の中には玉が５個
「赤①」「赤②」「赤③」「白①」「白②」
入っている
５個から２個取り出すので，
玉の取り出し方は全部で $_5C_2$ (通り)
２個とも赤玉を取り出すとき，
赤玉３個から２個取り出すので $_3C_2$ (通り)
求める確率は $\displaystyle{\frac{_3C_2}{_5C_2}=\frac{3}{10}}$
(2) 赤玉１個，白玉１個取り出す確率
玉の取り出し方は全部で $_5C_2$ (通り)
赤玉１個，白玉１個取り出すとき，
赤玉３個から１個取り出す $_3C_1$ (通り)
白玉２個から１個取り出す $_2C_1$ (通り)
積の法則より $_3C_1\times_2C_1$
求める確率は $\displaystyle{\frac{_3C_1\times_2C_1}{_5C_2}=\frac{3}{5}}$
まとめ
● 確率の求め方
$\displaystyle{A の確率=\frac{Aが起こる場合の数}{すべての場合の数}}$
● 確率でよく出題される試行
- コインを投げる
- さいころを投げる
- 袋から玉を取り出す
● 袋から玉を取り出す問題
袋の中の玉は区別する
問題
(1) コインを同時に３枚投げるとき，すべて裏
(2) さいころを同時に３個投げるとき，目の和が４
(3) ５つの文字 $a~e$ をランダムに１列に並べるとき，$a$ が左端，$b$ が右端になる確率 (4) 赤玉が４個と白玉が３個入った袋から，赤玉を２個，白玉を１個取り出す確率
(1) コインを同時に３枚投げるとき，すべて裏
３枚同時に投げるので，すべての場合の数は
積の法則より $2\times2\times2=8$ (通り)
すべて裏が出るのは $1$ (通り)
求める確率は $\displaystyle{\frac{1}{8}}$
(2) さいころを同時に３個投げるとき，目の和が５
３個同時に投げるので，すべての場合の数は
積の法則より $6\times6\times6=216$ (通り)
目の和が４になるのは
$(1，1，2)$，$(1，2，1)$，$(2，1，1)$
の $3$ (通り)
求める確率は $\displaystyle{\frac{3}{216}=\frac{1}{72}}$
(3) ５つの文字 $a~e$ をランダムに１列に並べるとき，$a$ が左端，$b$ が右端になる確率
５つの文字の並べ方は $5!$ (通り)
$a$ が左端，$b$ が右端のとき，
残りの３つ $c，d，e$ を間に
並べる並び方は $3!$ (通り)
求める確率は 求める確率は $\displaystyle{\frac{3!}{5!}=\frac{1}{20}}$
(4) 赤玉が４個と白玉が３個入った袋から，赤玉を２個，白玉を１個取り出す確率
玉の取り出し方は全部で $_7C_3$ (通り)
赤玉２個，白玉１個取り出すとき，
赤玉４個から２個取り出す $_4C_2$ (通り)
白玉３個から１個取り出す $_3C_1$ (通り)
積の法則より $_4C_2\times_3C_1$
求める確率は $\displaystyle{\frac{_4C_2\times_3C_1}{_7C_3}=\frac{18}{35}}$
何事も基本が大切！
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