空間の点

平面の点

点の位置を考えるために以下のように座標を使う

空間の座標軸と座標平面

　

空間に点 $O$ をとり，点 $O$ で互いに直交する $3$ 本の数直線を下の図のように定める。

これらをそれぞれ $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸といい，まとめて　座標軸　という。

また，点 $O$ を原点という。

$x$ 軸と $y$ 軸で定まる平面を　$xy$ 平面

$y$ 軸と $z$ 軸で定まる平面を　$yz$ 平面

$z$ 軸と $x$ 軸で定まる平面を　$zx$ 平面

これらをまとめて　座標平面　という。

空間の座標

 

　平面と同様に $P(1，3，2)$ について，左から順に

点 $P$ の $x$ 座標，$y$ 座標，$z$ 座標

　という

　途中までは平面と同じで $(1，3)$

　空間の座標の表し方をすると，$(1，3，0)$ をとる

　空間でみると

　点 $D$ から $z$ 軸方向に $2$ だけ移動した点が $P(1，3，2)$

以上をまとめると次のようになる

座標の定められた空間を　座標空間　という

原点 $O$ の点 $P$ の距離

　$\triangle OAQ$ において三平方の定理を用いると

$OQ^2=OA^2+AQ^2$　$\cdots\cdots$　①

　$\triangle OPQ$ において三平方の定理を用いると

$OQ^2=OQ^2+PQ^2$　$\cdots\cdots$　②

　①を②に代入すると

\begin{eqnarray} OP^2 &=& OQ^2+PQ^2 \\\\ &=& (OA^2+AQ^2)+PQ^2 \\\\ &=& 1^2+3^2+2^2 \\\\ &=& 14 \end{eqnarray}

　$OP>0$ より

$OP=\sqrt{14}$

　

　原点と点 $P(a，b，c)$ の距離 $OP$ を考えると

\begin{eqnarray} OP^2 &=& OQ^2+PQ^2 \\\\ &=& (OA^2+AQ^2)+PQ^2 \\\\ &=& a^2+b^2+c^2 \end{eqnarray}

　$OP>0$ より

$OP=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

　

　

　(1)　$P(2，3，4)$

\begin{eqnarray} OP &=& \sqrt{2^2+3^2+4^2} \\\\ &=& \sqrt{29} \end{eqnarray}

　

　(2)　$P(-2，1，-4)$

\begin{eqnarray} OP &=& \sqrt{(-2)^2+1^2+(-4)^2} \\\\ &=& \sqrt{21} \end{eqnarray}

　

まとめ

● 空間の点の座標

● 空間の点の距離

　原点 $O$ と点 $P(a，b，c)$ の距離は

$OP=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$