複素数と相等

複素数は、整理して $a$ $+$ $b$ $i$ の形にする（$a$ は実部、$b$ は虚部）
複素数が等しい場合、実部どうし、虚部どうしが等しい

$a$，$b$，$c$，$d$ が実数のとき

　$a$ $+$ $b$ $i=$ $c$ $+$ $d$ $i$　$\Longleftrightarrow$　$a$ $=$ $c$ かつ $b$ $=$ $d$
（とくに $a$ $+$ $b$ $i=0$　$\Longleftrightarrow$　$a$ $=0$ かつ $b$ $=0$）

　$a$ $+$ $b$ $i$ が実数　$\Longleftrightarrow$　$b$ $=0$

　$a$ $+$ $b$ $i$ が純虚数　$\Longleftrightarrow$　$a$ $=0$ かつ $b$ $≠0$

$(x+y)+(y+2)i=3+4i$ を満たす実数 $x$，$y$ の値を求めよ。

　
$x$，$y$ が実数であるから，$x+y$，$x+2$ は実数である
よって　　　　　$x+y=3$，$y+2=4$
これを解いて　　$x=1$，$y=2$

$(2+ai)(3+2i)$ が実数となるとき，および純虚数となるときの実数 $a$ の値をそれぞれ求めよ。

　
$(2+ai)(3+2i)=6+4i+3ai+2ai^2=6-2a+(3a+4)i$
$a$ が実数であるから，$6-2a$，$3a+4$ は実数である
実数のときは $3a+4=0$ より　　$\displaystyle{a=-\frac{4}{3}}$
純虚数のときは $6-2a=0$ かつ $3a+4≠0$ より　　$a=3$

$z^2=i$ を満たす複素数 $z$ を求めよ。

$z=x+yi$ ($x$，$y$ は実数）とおく
$z^2=i$ に代入すると　　$(x+yi)^2=i$
これを整理すると　　$(x^2-y^2)+2xyi=i$
$x$，$y$ は実数であるから，$x^2-y^2$，$2xy$ も実数であるので

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2=0　\cdots　①\\ 2xy=1　　\cdots　② \end{array} \right. \end{eqnarray}

②より，$x≠0$ なので　　$\displaystyle{y=\frac{1}{2x}}$　…　③
①に代入すると　　$\displaystyle{x^2-\left(\frac{1}{2x}\right)^2=0}$
　　　　　　　　　　$4x^4-1=0$
すなわち　　$(2x^2+1)(2x^2-1)=0$
$x$ は実数より $2x^2+1≠0$ であるから　　$2x^2-1=0$
よって　　$\displaystyle{x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}}$
③に代入すると　$\displaystyle{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}$ のとき　$\displaystyle{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}$
　　　　　　　　$\displaystyle{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ のとき　$\displaystyle{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$
したがって　　$\displaystyle{z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i，-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i}$