関数の増減と導関数

導関数と接線の傾きの関係

$f(x)$ を微分した関数が導関数 $f'(x)$

導関数 $f'(x)$ に $x=a$ を代入すると

$x=a$ における微分係数

である

$x=a$ における微分係数は

関数 $f(x)$ 上の点 $(a，f(a))$ における接線の傾き

と等しい

微分係数と接線の傾きの関係はこれ↓

微分係数と接線の傾き

微分の入門！微分係数の定義式の意味を理解しよう！

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2021.08.10

関数の増減と接線の傾き

関数が増加する　……　接線の傾きが正

関数が減少する　……　接線の傾きが負

関数の増減と導関数

接線の傾きは，導関数 $f'(x)$ なので

関数 $f(x)$ が増加する　……　接線の傾きが正

すなわち

関数 $f(x)$ が増加する　……　導関数 $f'(x)>0$

関数 $f(x)$ が減少する　……　接線の傾きが負

すなわち

関数 $f(x)$ が減少する　……　導関数 $f'(x)<0$

　

３次関数のグラフ

● 導関数 $f'(x)$ を求める

$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)$

　

● 導関数 $f'(x)$ の符号を調べる

　$f'(x)=0$ のとき　　$3(x+1)(x-1)=0$

$x=±1$

　$f'(x)$ のグラフをかくと

• $f'(x)=3x^2-3$ は２次関数
• $f'(x)=0$ の解 $x=±1$ は $f'(x)$ と $x$ 軸の共有点
• $x$ 軸より上側の範囲が $f'(x)>0$ すなわち $x<-1，1<x$
• $x$ 軸より下側の範囲が $f'(x)<0$ すなわち $-1<x<1$

　

　

● 増減表をかく

　手順①　表をつくる

　手順②　$x$ の行に $f'(x)=0$ の解 $x=±1$ をかく

　手順③　$f'(x)$ の行に $0$，$+$，$-$ をかく

$f'(x)$ のグラフをもとに表に書き込む

　手順④　$f(x)$ の行をかく

$f'(x)$ が $+$ のときは，$f(x)$ は増加するので　↗　をかく

$f'(x)$ が $-$ のときは，$f(x)$ は減少するので　↘　をかく

$f(x)=x^3-3x$ より

$f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)=2$

$f(1)=1^3-3\cdot1=-2$

　

● 増減表の $f(x)$ の行をみてグラフをかく

　

　導関数を求めると

$f'(x)=-3x^2+3=-3(x^2-1)=-3(x+1)(x-1)$

　$f'(x)=0$ のとき

$x=±1$

　$f'(x)$ のグラフをかくと

　増減表をかくと

　グラフをかくと

まとめ

● 導関数と接線の傾きの関係

　導関数 $f'(x)$ は関数 $f(x)$ 上の点における接線の傾きを表している

● 関数の増減と接線の傾き

　関数が増加する　……　接線の傾きが正

　関数が減少する　……　接線の傾きが負

● 関数 $f(x)$ の増減と導関数 $f'(x)$ の符号

　$f'(x)>0$ となる $x$ の値の範囲では $f(x)$ は増加する

　$f'(x)<0$ となる $x$ の値の範囲では $f(x)$ は減少する