![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
関数の極大・極小とは何か?
詳しく学ぼう!
関数の極大・極小
3次関数 $f(x)=x^3-3x$ のグラフは以下のようになる
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/c14b6a0bdb734b43e584d3bbf774a505-2.png)
$x=-1$ を境目にして増加から減少に移るとき,
$x=-1$ で極大である
$x=-1$ で極大値 $2$ をとる
という
$x=1$ を境目にして減少から増加に移るとき,
$x=1$ で極小である
$x=1$ で極小値 $-2$ をとる
という
極大値と極小値をまとめて 極値 という
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/f7cb3e48ddb80475a2411acd709ab460.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
増加と減少が入れかわるところが極値となる!
常に増加,常に減少する場合は極値をもたない!
常に増加,常に減少する場合は極値をもたない
3次関数の極大・極小
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
問題を解いてみよう!
導関数 $f'(x)$ を求めると
$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$
$f'(x)=0$ を求めると
$3x(x-2)=0$
$x=0,2$
$f'(x)$ のグラフをかくと
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/1cbff35c1eefa7cd392a1a1be0aff610.png)
増減表をかくと
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/eabf9276034f8bff4a77a97838a42ebe.png)
したがって
$x=0$ で極大値 $3$
$x=2$ で極小値 $-1$
グラフは
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/2574dfc278c3c6e749f1398c04ca4fbb.png)
増減表で極値は求まるので,グラフはかかなくてもよい
導関数 $f'(x)$ を求めると
$f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$
$f'(x)=0$ を求めると
$-3x(x-2)=0$
$x=0,2$
$f'(x)$ のグラフをかくと
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/f05d479bd9a9527175dce3daa3085f89.png)
増減表をかくと
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/3d6758617255745771babfdbd62b99b1.png)
したがって
$x=2$ で極大値 $2$
$x=0$ で極小値 $-2$
グラフは
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/7208c3c80386d8eb9d94e9dd6b1a0682.png)
増減表で極値は求まるので,グラフはかかなくてもよい
極値をもたない場合
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
関数によっては極値をもたない場合もある!
極値をもたない関数についても考えてみよう!
導関数 $f'(x)$ を求めると
$f'(x)=3x^2$
$f'(x)=0$ を求めると
$3x^2=0$
$x=0$
$f'(x)$ のグラフをかくと
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/200e0b1a512f2c320c9e346dc737e431.png)
増減表をかくと
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/05e5b7d5c2923f38ae0d2f26089b9a30.png)
関数 $f(x)$ は常に増加する
つまり,増減が入れかわらないので
$f(x)$ は極値をもたない
グラフは
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/eb60314131220dcc554c13a7b9055082.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
常に増加するから極値をもたない!
導関数 $f'(x)$ を求めると
$f'(x)=-3x^2-1$
$f'(x)=0$ を求めると
$3x^2=-1$
この方程式は実数解をもたない
$f'(x)$ のグラフをかくと
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/8bcf787f981e352728bb7f02441c90d3.png)
$f'(x)=0$ が実数解をもたないので,$f'(x)$ は $x$ 軸と共有点をもたない
増減表をかくと
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/c8422fc0513d52673aa3a4e362c915a7.png)
関数 $f(x)$ は常に減少する
つまり,増減が入れかわらないので
$f(x)$ は極値をもたない
グラフは
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/e40b709e8cc13744c0107e630a6f9816.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
常に減少するから極値をもたない!
まとめ
● 関数の極大・極小
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/08/f7cb3e48ddb80475a2411acd709ab460.png)
増加から減少に入れかわるところを極大
減少から増加に入れかわるところを極小
● 極値をもたない場合
関数が 常に増加する または 常に減少する ときは
増減が入れかわらないので極値をもたない
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
極値を確実に求められるようにしよう!
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
極値をもたない場合もおさえておこう!
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