集合
集合…範囲がはっきりしたものの集まり
要素…集合を構成しているひとつひとつ
例 $5$ 以下の自然数全体の集合 $A$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/57e1c9843327c16c8d96a4c0813e62d1.png)
$A$ の要素は $1,2,3,4,5$
集合 $A$ を以下のように表す
$A=\{1,2,3,4,5\}$
$\{ \}$ の中に要素を書くと、その要素が集まった集合を表す
共通部分
\(A \cap B\) ($A$ かつ $B$)… $A$ と$B$ の共通部分
$A$ と $B$ の両方に属する集合
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/095c10083343275c69919193d0ec880e.png)
和集合
\(A \cup B\)($A$ または $B$)… $A$ と $B$ の和集合
$A$ と $B$ の少なくとも一方に属する集合
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/f94c0f74a169ef4eccc7aca26776ee72.png)
補集合
\(\overline{A}\) … 集合 $A$ の補集合
$U$ は全体集合
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/39874afac00dbdf506508608f2c5fa7b.png)
詳しい解説はこれ↓
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/04/6b9bed80681e8b82fd415bd4b8e77341-160x90.jpg)
集合の要素の個数の表し方
$n(A)$ … 集合 $A$ の要素の個数
例 $5$ 以下の自然数全体の集合 $A$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/57e1c9843327c16c8d96a4c0813e62d1.png)
$n(A)=5$(集合 $A$ の個数は $5$ 個)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
$n( )$ の $n$ は「個数」という意味の「number」の頭文字と覚えておこう!
和集合の要素の個数
和集合 $A \cup B$ の要素の個数は以下のように表せる
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/6db19bb4dda3fee9d28d027669a52b20.png)
$n(A)=a$,$n(B)=b$,$n(A \cap B)=c$ とすると
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/6831dfbf969edb494e2d8d8b83a634ba.png)
$n(A \cup B)=(a-c)+(b-c)+c$
$=a+b-c$
$=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
$n(A)+n(B)$ だと共通部分である $n(A \cap B)$ を2回足していることになるから,$n(A \cap B)$ を引くんだね!
補集合の要素の個数
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/39874afac00dbdf506508608f2c5fa7b-1.png)
全体集合 $U$ の要素の個数から集合 $A$ の要素の個数を引く
まとめ
● 集合
\(A \cap B\) ($A$ かつ $B$)… $A$ と$B$ の共通部分
\(A \cup B\)($A$ または $B$)… $A$ と $B$ の和集合
\(\overline{A}\) … 集合 $A$ の補集合
● 要素の個数
$n(A)$ … 集合 $A$ の要素の個数
● 和集合 \(A \cap B\) の要素の個数
$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
● 補集合の要素の個数
$n(\overline{A})=n(U)-n(A)$
問題
$n(U)=50$,$n(A)=30$,$n(B)=25$,$n(A \cap B)=15$
であるとき,次の要素の個数を求めよ。
(1) $A \cup B$
(2) $\overline{A}$
(3) $A \cap \overline{B}$
(4) $\overline{A \cup B}$
(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/46b382aa3894fdcc13e506b39c1cd8f7.png)
(1) $A \cup B$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/eef3f7984172c1b9bbe73b324c4ed66e.png)
$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
$=30+25-15$
$=40$
(2) $\overline{A}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/13fe77b275c3053da7f30ef330acede8.png)
$n(\overline{A})=n(U)-n(A)$
$=50-30$
$=20$
(3) $A \cap \overline{B}$($A$ の中 かつ $B$ の外)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/a59117728059d10d82d6adc29e42ec02.png)
$n(A \cap \overline{B})=n(A)-n(A \cap B)$
$=30-15$
$=15$
(4) $\overline{A \cup B}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/05/1bf593cc0e1a9fb9f6f3a912dd8e3649.png)
$n(\overline{A \cup B})=n(U)-n(A \cup B)$
$=50-40$
$=10$
(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$
ド・モルガンの法則より
$\overline{A} \cap \overline{B}=\overline{A \cup B}$
よって $n(\overline{A} \cap \overline{B})=n(\overline{A \cup B})=10$
ド・モルガンの法則はこれ↓
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/04/54f0f06d1633764f2c33d7e113904d22-160x90.jpg)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
図を描いてみることが大切!
ド・モルガンの法則も使えるように!
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