１の虚数の３乗根ω

高校数学Ⅱで学ぶ『$1$ の虚数の３乗根 ω』についてわかりやすく解説！

$1$ の虚数の３乗根を ω としたときの基本的な性質をまとめました！

この投稿を見れば、$1$ の虚数の３乗根 ω に関する問題はバッチリ！

３乗根とは

中学のときに、平方根（２乗根）を学びました。
例えば、「$4$ の平方根は $\pm2$」といったように、２乗して $4$ になる数のことを $4$ の平方根（２乗根）といいます。
$x^2=4$ という方程式の解を求めることで、$4$ の平方根は計算できます。
３乗根も同様に考えることができます。

１の３乗根

３乗すると $1$ になる数を、$1$ の３乗根といいます。
$1$ の３乗根は、$x^3=1$ の解を求めることで計算できます。

以上の計算でわかるように、$1$ の３乗根は　$1$，$\displaystyle{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$，$\displaystyle{\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}}$　の３つである。

１の虚数の３乗根ω

$1$ の虚数の３乗根 $\displaystyle{\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}}$ の１つを $\omega$ (オメガ) とおくとき、次の３つの性質を知っておく必要がある。

性質１

【証明】
$1$ の３乗根は $x^3=1$　…　①　を満たす $x$ である
　　$x^3=1$
　　$x^3-1=0$
　　$(x-1)(x^2+x+1)=0$
　　$x-1=0$　または　$x^2+x+1=0$　…　②
よって　　$\displaystyle{x=1，\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}}$
$1$ の虚数の３乗根 $\displaystyle{\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}}$ の１つを $\omega$ とすると
$\omega$ は①の解であるため　　$\omega^3=1$
また、$1$ の虚数の３乗根は②の解であるため　　$\omega^2+\omega+1=0$

性質２

【証明】
$\displaystyle{\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$ とすると

　　$\displaystyle{\omega^2=\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\frac{1-2\sqrt{3}i-3}{4}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}}$

$\displaystyle{\omega=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}}$ とすると

　　$\displaystyle{\omega^2=\left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\frac{1+2\sqrt{3}i-3}{4}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$

よって，$\displaystyle{\omega=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}}$ のとき，$\displaystyle{\omega^2=\frac{-1\mp\sqrt{3}i}{2}}$ （複合同順）である
したがって、$1$ の３乗根は $1$，$\omega$，$\omega^2$ である

性質３

性質１で示した $\omega^3=1$ を用いると、

　　$\omega^{100}=(\omega^3)^{33}\cdot\omega=\omega$
　　$\omega^{101}=(\omega^3)^{33}\cdot\omega^2=\omega^2$
　　$\omega^{102}=(\omega^3)^{34}=1$

のように、$\omega^n$ は $1$，$\omega$，$\omega^2$ で表すことができる。

【証明】
$k$ を自然数とする
$n=3k$ のとき　　$\omega^n=\omega^{3k}=(\omega^3)^k=1$
$n=3k+1$ のとき　　$\omega^n=\omega^{3k+1}=(\omega^3)^k\cdot\omega=\omega$
$n=3k+2$ のとき　　$\omega^n=\omega^{3k+2}=(\omega^3)^k\cdot\omega^2=\omega^2$

問題