１次不定方程式②

１次不定方程式の基本

$ax+by=0$ の解き方はこれ↓

１次不定方程式①

１次不定方程式って何？解き方の基本をおさえよう！

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2022.12.17

１次不定方程式 $ax+by=c$ を解く

解法

手順１　$3□+4□=1$ という式を１つ作る
　　　（$3x+4y=1$ を満たす整数解 $x$，$y$ を１つ求める）

□に整数を入れて式を成り立たせるには

$3\cdot(-1)+4\cdot1=1$

$3\cdot3+4\cdot(-2)=1$

$3\cdot7+4\cdot(-5)=1$

などがある

どれでもいいので，数字を入れて式を１つ作ろう

手順２　方程式を手順１の式で引いて右辺を $0$ にする

$3x+4y=1$ を手順１で求めた式 $3\cdot(-1)+4\cdot1=1$ で引く

$3x+4y=1$　$\cdots$　①
$3\cdot(-1)+4\cdot1=1$　$\cdots$　②

①ー②より　$3\{x-(-1)\}+4(y-1)=0$

すなわち　$3(x+1)+4(y-1)=0$

手順３　方程式 $ax+by=0$ と同様に解く

式変形して　$3(x+1)=-4(y-1)$

$3$ と $4$ は互いに素（最大公約数が $1$）なので
整数 $k$ を用いて　$x+1=4k$，$y-1=-3k$
よって　$x=4k-1$，$y=-3k+1$

　

または

$x+1=-4k$，$y-1=3k$
よって　$x=-4k-1$，$y=3k+1$

でもよい

解の表し方は無数にある

手順１で作った式が $3\cdot3+4\cdot(-2)=1$ なら，

$x=4k+3$，$y=-3k-2$
(または $x=-4k+3$，$y=3k-2$ )　になる

つまり，手順１で作った式によって，解の表し方が異なる

しかし，

$x=4k-1$，$y=-3k+1$ と解を表しても

$x=4k+3$，$y=-3k-2$ と解を表しても

$k$ に整数を代入すると，どちらの解も

$(x、y)=\cdots，(-5，4)，(-1，1)，(3，-2)，(7，-5)，\cdots$

と一致する

解の検算

$x=4k-1$，$y=-3k+1$ を $3x+4y=1$ に代入すると

$3(4k-1)+4(-3k+1)=1$

左辺と右辺は等しくなるので，

$x=4k-1$，$y=-3k+1$ は方程式 $3x+4y=1$ の解である

まとめ

● １次不定方程式 $ax+by=c$ の解き方

　手順１　$a□+b□=c$ を作る

　　　　　$ax+by=c$ の整数解の１つを求める

　手順２　方程式を手順１の式で引く

　手順３　$a(x-□)+b(y-□)=0$ を解く

● １次不定方程式のポイント

• 整数 $k$ を用いた解の表し方は無数にあるが，どれも同じ解を表している
• 方程式に解を代入すると検算ができる

問題

$x=1$，$y=-1$ は $5x+4y=1$ の解の１つなので

$5\cdot1+4\cdot(-1)=1$

$5x+4y=1$　\cdots　①

$5\cdot1+4\cdot(-1)=1$　\cdots　②

①ー②より　$5(x-1)+4\{y-(-1)\}=0$

すなわち　$5(x-1)+4(y+1)=0$

式変形して　$5(x-1)=-4(y+1)$

$5$ と $4$ は互いに素（最大公約数が $1$ ）なので

整数 $k$ を用いて　$x-1=4k$，$y+1=-5k$

よって　$x=4k+1$，$y=-5k-1$

　

$x=1$，$y=1$ は $5x+4y=1$ の解の１つなので

$5\cdot1-4\cdot1=1$

$5x-4y=1$　\cdots　①

$5\cdot1-4\cdot1=1$　\cdots　②

①ー②より　$5(x-1)-4\{y-1\}=0$

すなわち　$5(x-1)-4(y-1)=0$

式変形して　$5(x-1)=4(y-1)$

$5$ と $4$ は互いに素（最大公約数が $1$ ）なので

整数 $k$ を用いて　$x-1=4k$，$y-1=5k$

よって　$x=4k+1$，$y=5k+1$