１次不定方程式③

１次不定方程式の基本を復習しよう！

１次不定方程式の基本はこれ↓

１次不定方程式②

１次不定方程式の解き方の手順を整理しよう！

$a x + b y = c$ の $a$ と $b$ の値が大きい場合の１次不定方程式の解き方を学ぼう！

１次不定方程式 $a x + b y = c$ の解き方の手順
１次不定方程式 $a x + b y = c$ の整数解を１つ見つける方法
まとめ
問題

１次不定方程式 $a x + b y = c$ の解き方の手順

１次不定方程式

a x + b y = c

の解き方の手順

手順１　

a □ + b □ = c

を作る
　　　　

a x + b y = c

の整数解の１つを求める
手順２　方程式を手順１の式で引く
手順３　

a (x - □) + b (y - □) = 0

を解く

$a x + b y = c$ の $a$ と $b$ の値が大きいと，手順１の式を作るのが難しくなる！

手順１の式を作るコツを学ぼう！

１次不定方程式 $a x + b y = c$ の整数解を１つ見つける方法

方程式

29 x + 22 y = 3

の整数解をすべて求めよ。

手順１　 $29 \cdot □ + 22 \cdot □ = 3$ の式を作る

　　　　 $29 x + 22 y = 3$ の整数解の１つを求める

倍数を書き並べて探す

$29$ の倍数と $22$ の倍数を書き並べる

$29 ， 58 ， 87 ， 116 ， 145 ， 174 ， 203 ， 232 ， 261 ， 290 ， \dots$

$22 ， 44 ， 66 ， 88 ， 110 ， 132 ， 154 ， 176 ， 198 ， 220 ， 242 ， 264 ， \dots$

$29 \cdot □ + 22 \cdot □ = 3$ の式を作りたいので，

差が $3$ になる組合せを探す

$29 ， 58 ， 87 ， 116 ， 145 ， 174 ， 203 ， 232 ，$ $261$ $， 290 ， \dots$

$22 ， 44 ， 66 ， 88 ， 110 ， 132 ， 154 ， 176 ， 198 ， 220 ， 242 ，$ $264$ $， \dots$

$261 = 29 \cdot 9$
$264 = 22 \cdot 12$ より

$29 \cdot (- 9) + 22 \cdot 12 = 3$

$a □ + b □ = 1$ を作って両辺にかける

$29$ の倍数と $22$ の倍数を書き並べる

$29 ， 58 ， 87 ， 116 ， 145 ， \dots$

$22 ， 44 ， 66 ， 88 ， 110 ， 132 ， \dots$

差が $1$ になる組合せを探すと

$29 ， 58 ，$ $87$ $， 116 ， 145 ， \dots$

$22 ， 44 ， 66 ，$ $88$ $， 110 ， 132 ， \dots$

$87 = 29 \cdot 3$
$88 = 22 \cdot 4$ より

$29 \cdot (- 3) + 22 \cdot 4 = 1$

両辺に $3$ をかけると

$29 \cdot (- 3) \cdot 3 + 22 \cdot 4 \cdot 3 = 3$

$29 \cdot (- 9) + 22 \cdot 12 = 3$

互除法を使う

$29$ と $22$ について互除法を使うと

$29 = 22 \cdot 1 + 7$
$22 = 7 \cdot 3 + 1$

それぞれ式変形すると

$7 = 29 - 22 \cdot 1$ 　 $\dots$ 　①
$1 = 22 - 7 \cdot 3$ 　 $\dots$ 　②

②より

$1 = 22 -$ $7$ $\cdot 3$

　 $= 22 - ($ $29 - 22 \cdot 1$ $) \cdot 3$ （①を代入）

　 $= 22 - 29 \cdot 3 + 22 \cdot 3$
　 $= 29 \cdot (- 3) + 22 \cdot 4$

よって　

$29 \cdot (- 3) + 22 \cdot 4 = 1$

両辺に $3$ をかけると

$29 \cdot (- 3) \dots 3 + 22 \cdot 4 \dots 3 = 3$

$29 \cdot (- 9) + 22 \cdot 12 = 3$

まずは書き並べてみて，見つからないときは互除法を使おう！

手順２　方程式を手順１の式で引く

$29 x + 22 y = 3$ 　 $\dots$ 　①

$29 \cdot 3 + 22 \cdot (- 4) = 3$ \cdots$　②

①ー②より　 $29 (x - 3) + 22 {y - (- 4)} = 0$

すなわち　 $29 (x - 3) + 22 (y + 4) = 0$

手順３　 $a (x - □) + b (y - □) = 0$ を解く

式変形すると　 $29 (x - 3) = - 22 (y + 4)$

$29$ と $22$ は互いに素なので

$k$ を整数とすると　 $x - 3 = 22 k$ ， $y + 4 = - 29 k$

よって　 $x = 22 k + 3$ ， $y = - 29 k - 4$

手順１の式が作れたら，同じように解けるね！

まとめ

● １次不定方程式 $a x + b y = 1$ の解き方

　手順１　 $a □ + b □ = c$ を作る

　　　　　 $a x + b y = c$ の整数解の１つを求める

　手順２　方程式を手順１の式で引く

　手順３　 $a (x - □) + b (y - □) = 0$ を解く

● $a □ + b □ = c$ の作り方

倍数を書き並べて探す
$a □ + b □ = 1$ を作って両辺を $c$ 倍する
互除法を用いる

問題

方程式

43 x + 32 y = 2

の整数解をすべて求めよ。

手順１　 $43 \cdot □ + 32 \cdot □ = 2$ の式を作る

　　　　 $43 x + 32 y = 2$ の整数解の１つを求める

$43$ の倍数と $32$ の倍数を書き並べると

$43 ， 86 ，$ $129$ $， 172 ， \dots$

$32 ， 64 ， 96 ，$ $128$ $， 160 ， \dots$

差が $1$ になるのは

$129 = 43 \cdot 3$
$128 = 32 \cdot 4$ より

$43 \cdot 3 + 32 \cdot (- 4) = 1$

両辺を $2$ 倍して

$43 \cdot 6 + 32 \cdot (- 8) = 2$

手順２　方程式を手順１の式で引く

$43 x + 32 y = 2$ 　 $\dots$ 　①

$43 \cdot 6 + 32 \cdot (- 8) = 2$ 　 $\dots$ 　②

①ー②より　 $43 (x - 6) + 32 {y - (- 8)} = 0$

すなわち　 $43 (x - 6) + 32 (y + 8) = 0$

手順３　 $a (x - □) + b (y - □) = 0$ を解く

式変形すると　 $43 (x - 6) = - 32 (y + 8)$

$43$ と $32$ は互いに素なので

$k$ を整数とすると　 $x - 6 = 32 k$ ， $y + 8 = - 43 k$

よって　 $x = 32 k + 6$ ， $y = - 43 k - 8$

１次不定方程式を確実に解けるようにしっかり練習しよう！

１次不定方程式 ax+by=c の解き方の手順

１次不定方程式 ax+by=c の整数解を１つ見つける方法

倍数を書き並べて探す

a□+b□=1 を作って両辺にかける

互除法を使う

まとめ

問題

コメント

１次不定方程式 $a x + b y = c$ の解き方の手順

１次不定方程式 $a x + b y = c$ の整数解を１つ見つける方法

$a □ + b □ = 1$ を作って両辺にかける