２倍角の公式

　$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

　$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

　$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

　$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

　${\displaystyle \tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

　${\displaystyle \tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

　$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

　$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

　$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$

　$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

　${\displaystyle \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }}$

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$

$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

${\displaystyle \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }}$

$\alpha$ の動径が第３象限にあるとする。${\displaystyle \sin \alpha =-\frac{3}{5}}$ であるとき，次の値を求めよ。

(1)　$\sin 2\alpha$

(2)　$\cos 2\alpha$

(3)　$\tan 2\alpha$

(1)　 $\sin 2\alpha$

　${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ より

　${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$

　　　　　${\displaystyle =1-{(-\frac{3}{5})}^2}$

　　　${\displaystyle =1-\frac{9}{25}}$

${\displaystyle =\frac{16}{25}}$

　$\alpha$ の動径が第３象限にあるので　　$\cos \alpha <0$

　　${\displaystyle \cos \alpha =-\frac{4}{5}}$

　以上より，

　$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

　　　　　　　　　${\displaystyle =2\times (-\frac{3}{5})\times (-\frac{4}{5})}$

${\displaystyle =\frac{24}{25}}$

(2)　$\cos 2\alpha$

　　${\displaystyle \cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha }$

　　　　　　　　${\displaystyle =1-2\times {(-\frac{3}{5})}^2}$

　　　　${\displaystyle =1-\frac{18}{25}}$

　　${\displaystyle =\frac{7}{25}}$

(3)　$\tan 2\alpha$

${\displaystyle \tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }}$

　　${\displaystyle =\frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}}}$

　　${\displaystyle =\frac{24}{7}}$

【別解】

　　${\displaystyle \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

　　　　　${\displaystyle =\frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}}$

　　　${\displaystyle =\frac{3}{4}}$

　よって，

　　${\displaystyle \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }}$

　　　　　　${\displaystyle =\frac{2\times \frac{3}{4}}{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}}$

　　　　　${\displaystyle =\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}}$

　　　${\displaystyle =\frac{24}{7}}$