高校数学Ⅱの【三角関数】で学ぶ『２倍角の公式』について解説！
加法定理から２倍角の公式の導出のやり方，使い方を学ぼう！
この投稿を見れば，２倍角の公式の基本はバッチリ！
加法定理
「２倍角の公式」は「加法定理」から求めることができる！
「加法定理」の復習をしよう！
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
$\displaystyle{\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}$
$\displaystyle{\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}}$
「加法定理」詳しくはこれ↓
２倍角の公式
「２倍角の公式」はこれ！
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
$\displaystyle{\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}}$
「加法定理」から「２倍角の公式」を求めてみよう！
正弦の２倍角の公式の導出
正弦の加法定理
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\beta=\alpha$ とすると
$\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha$
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
余弦の２倍角の公式の導出
余弦の加法定理
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
$\beta=\alpha$ とすると
$\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha$
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
$\cos2\alpha$ を $\sin\alpha$ だけで表してみよう！
$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ より
$\cos2\alpha=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha$
$=1-2\sin^2\alpha$
$\cos2\alpha$ を $\cos\alpha$ だけで表してみよう！
$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ より
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha$)
$=2\cos^2\alpha-1$
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
$\cos2\alpha$ は３種類を場面によって使い分けよう！
正接の２倍角の公式の導出
正接の加法定理
$\displaystyle{\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}$
$\beta=\alpha$ とすると
$\displaystyle{\tan(\alpha+\alpha)=\frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha}}$
$\displaystyle{\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}}$
$\displaystyle{\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}}$
問題
$\alpha$ の動径が第３象限にあるとする。$\displaystyle{\sin\alpha=-\frac{3}{5}}$ であるとき，次の値を求めよ。
(1) $\sin2\alpha$
(2) $\cos2\alpha$
(3) $\tan2\alpha$
(1) $\sin2\alpha$
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ より
$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$
$\displaystyle{=1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2}$
$\displaystyle{=1-\frac{9}{25}}$
$\displaystyle{=\frac{16}{25}}$
$\alpha$ の動径が第３象限にあるので $\cos\alpha<0$
$\displaystyle{\cos\alpha=-\frac{4}{5}}$
以上より，
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\displaystyle{=2\times\left(-\frac{3}{5}\right)\times\left(-\frac{4}{5}\right)}$
$\displaystyle{=\frac{24}{25}}$
(2) $\cos2\alpha$
$\displaystyle{\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha}$
$\displaystyle{=1-2\times\left(-\frac{3}{5}\right)^2}$
$\displaystyle{=1-\frac{18}{25}}$
$\displaystyle{=\frac{7}{25}}$
(3) $\tan2\alpha$
$\displaystyle{\tan2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}}$
$\displaystyle{=\frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}}}$
$\displaystyle{=\frac{24}{7}}$
【別解】
$\displaystyle{\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}$
$\displaystyle{=\frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}}$
$\displaystyle{=\frac{3}{4}}$
よって，
$\displaystyle{\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}}$
$\displaystyle{=\frac{2\times\frac{3}{4}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}}$
$\displaystyle{=\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}}$
$\displaystyle{=\frac{24}{7}}$
まとめ
● ２倍角の公式
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
$\displaystyle{\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}}$
「２倍角の公式」を忘れたら，「加法定理」から求めよう！
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