２次関数とｘ軸の位置関係は３種類！
おまけに，２次方程式の解の種類を判別する判別式Dとも深い関係が！
このことを理解しておけば，あらゆる場面で応用ができます！
この投稿を見れば，２次関数とｘ軸の位置関係と判別式Ｄの関係をわかりやすく学べます！
２次関数とｘ軸の位置関係
２次関数とｘ軸の位置関係は３種類あるよ！
[1] ｘ軸と異なる２点で交わる
[2] ｘ軸と接する（１点で交わる）
[3] ｘ軸と交わらない
覚えなくても図をかけば３種類あることが分かるね！
２次関数とｘ軸の位置関係と２次方程式の実数解
『２次関数と $x$ 軸の位置関係』と『２次方程式の実数解』には切っても切れない関係があるよ！
●２次関数 $y=x^2-3x-4$ と $x$ 軸の位置関係
$x$ 軸との共有点を求めてみると
$y=0$ を代入して
$x^2-3x-4=0$
$(x+1)(x-4)=0$
$x=-1，4$
２次関数 $y=x^2-3x-4$ と $x$ 軸は，異なる２点で交わる
２次方程式 $x^2-3x-4=0$ の実数解が２個
２次関数 $y=x^2-3x-4$ と $x$ 軸が異なる２点で交わる
●２次関数 $y=x^2-4x+4$ と $x$ 軸の位置関係
$x$ 軸との共有点を求めてみると
$y=0$ を代入して
$x^2-4x+4=0$
$(x-2)^2=0$
$x=2$
２次関数 $y=x^2-4x+4$ と $x$ 軸は，接する（１点で交わる）
２次方程式 $x^2-4x+4=0$ の実数解が１個
２次関数 $y=x^2-4x+4$ と $x$ 軸が接する（１点で交わる）
●２次関数 $y=x^2-x+3$ と $x$ 軸の位置関係
$x$ 軸との共有点を求めてみると
$y=0$ を代入して
$x^2-x+3=0$
$\displaystyle{x=\frac{1±\sqrt{-11}}{2}}$
$\sqrt{ }$ の中に負の数が入るので実数解はない
２次関数 $y=x^2-x+3$ と $x$ 軸は，交わらない
２次方程式 $x^2-x+3=0$ の実数解が０個
２次関数 $y=x^2-x+3$ と $x$ 軸は交わらない
２次関数と $x$ 軸の共有点を求めるときには２次関数に $y=0$ を代入する
$y=0$ を代入することで２次方程式になります
その２次方程式の解が共有点の座標になるので，
２次方程式の実数解の個数が２次関数と $x$ 軸の共有点の個数になります
２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解の個数と等しい
２次関数とｘ軸の位置関係と判別式
２次方程式の実数解の個数はどうやったら調べられるのかな？
２次関数 $y=ax^2+bx+c$ と $x$ 軸の共有点の個数も判別式で調べられる
● $D>0$ のとき
２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解の個数は２個
２次関数 $y=ax^2+bx+c$ と $x$ 軸の共有点の個数は２個
● $D=0$ のとき
２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解の個数は１個（重解）
２次関数 $y=ax^2+bx+c$ と $x$ 軸の共有点の個数は１個（接する）
● $D<0$ のとき
２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解の個数は０個
２次関数 $y=ax^2+bx+c$ と $x$ 軸の共有点の個数は０個
２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式を $D$ とすると
$D>0$ のとき 異なる２点で交わる
$D=0$ のとき 接する（１点で交わる）
$D<0$ のとき 交わらない
２次関数 $y=x^2-3x+k$ について次のような条件を満たす $k$ の値の範囲を求めよ。
(1) $x$ 軸と異なる２点で交わる
(2) $x$ 軸と交わらない
(1) $x$ 軸と異なる２点で交わる
$y=0$ を代入する
２次方程式 $x^2-3x+k=0$ の判別式を $D$ とすると
\begin{eqnarray} D &=& (-3)^2-4・1・k \\\\ &=& 9-4k \end{eqnarray}$D>0$ より
$9-4k>0$
$\displaystyle{k<\frac{9}{4}}$
(2) $x$ 軸と交わらない
$D<0$ より
$9-4k<0$
$\displaystyle{k>\frac{9}{4}}$
２次関数 $y=x^2-6x+k$ が $x$ 軸と接するような $k$ の値を求めよ。
また，そのときの接点の座標を求めよ。
$y=0$ を代入する
２次方程式 $x^2-6x+k=0$ の判別式を $D$ とすると
\begin{eqnarray} D &=& (-6)^2-4・1・k \\\\ &=& 36-4k \end{eqnarray}$D=0$ より
$36-4k=0$
$k=9$
このとき
$x^2-6x+9=0$
$(x-3)^2=0$
$x=3$
接点の座標は $(3，0)$
まとめ
２次関数 $y=ax^2+bx+c$ に $y=0$ を代入した
２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式を $D=b^2-4ac$ とすると
２次関数 $y=ax^2+bx+c$ と $x$ 軸の位置関係は
$D>0$ のとき 異なる２点で交わる
$D=0$ のとき 接する（１点で交わる）
$D<0$ のとき 交わらない
共有点をもつ場合は，$D>0$ または $D=0$ なので $D≧0$ である
以上のように，判別式 $D$ によって２次関数と $x$ 軸の位置関係が調べられる
$b$ が偶数のとき，$\displaystyle{\frac{D}{4}=(bの半分)^2-ac}$ を用いると簡単に計算ができる
問題
問題１
２次関数 $y=2x^2-5x+k$ が $x$ 軸と共有点をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。
問題２
２次関数 $y=4x^2-12x+k$ が $x$ 軸と接するような $k$ の値を求めよ。
また，そのときの接点の座標を求めよ。
解答
問題１
$y=0$ を代入する
２次方程式 $2x^2-5x+k=0$ の判別式を $D$ とすると
\begin{eqnarray} D &=& (-5)^2-4・2・k \\\\ &=& 25-8k \end{eqnarray}$D≧0$ より
$25-8k≧0$
$\displaystyle{k≦\frac{25}{8}}$
問題２
$y=0$ を代入する
２次方程式 $4x^2-12x+k=0$ の判別式を $D$ とすると
\begin{eqnarray} D &=& (-12)^2-4・4・k \\\\ &=& 144-16k \end{eqnarray}$D=0$ より
$144-16k=0$
$k=9$
このとき
$4x^2-12x+9=0$
$(2x-3)^2=0$
$\displaystyle{x=\frac{3}{2}}$
接点の座標は $\displaystyle{\left(\frac{3}{2}，0\right)}$
$\displaystyle{\frac{D}{4}}$ を用いた別解
\begin{eqnarray} \frac{D}{4} &=& (-6)^2-4・k \\\\ &=& 36-4k \end{eqnarray}$D=0$ より
$36-4k=0$
$k=9$
２次関数と $x$ 軸の位置関係にも判別式 $D$ が使えることは非常に大切！
しっかりおさえておこう！
🔰定義域における最大・最小
🔰２次方程式の実数解の個数と判別式
🔵２次関数のグラフと係数の符号
🔵２次関数がｘ軸から切り取る線分の長さ
🔰２次不等式｜因数分解
🔰２次不等式｜解の公式
🔰２次不等式｜接する
🔰２次不等式｜交わらない
🔰２次不等式｜ｘ²の係数が負
🔰基本…まずはこの記事から！
🔵標準…基本問題や公式の理解度が重要！
🔴応用…場合分けなど思考力が要求される！
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